Непрерывная и монотонная функция $f$ определена на отрезке $[0;1]$ и принимает значения также на отрезке $[0;1]$. Докажите, что её график можно прикрыть $n$ прямоугольниками площади $\dfrac1{n^2}$ каждый (стороны прямоугольников параллельны осям координат).
Решение основано на следующем соображении: если $A(a;f(a))$ и $B(b;f(b))$ — две точки на графике функции (рис. 1), то прямоугольник $\varPi(A,B)$ с диагональю $AB$ покрывает участок графика от $A$ до $B$, а его площадь $S$ удовлетворяет неравенству $2\sqrt{S}\le l+h$, где $l=b-a$ — длина его основания, а $h=f(b)-f(a)$ — высота; это неравенство есть по существу неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом $\sqrt{lh}\le\dfrac{l+h}2$.
Это соображение можно использовать двумя способами. Предположим временно, что $f(0)=0$, $f(1)=1$.
1) Продолжим функцию $f$ на всю положительную полуось так, чтобы она осталась непрерывной и монотонной (например, можно положить $f(x)=x$ при $x\gt1$). Пусть $A_0$ — начальная точка её графика (с координатами $(0;0)$). Рассмотрим на графике такие точки $A_1$, $\ldots$, $A_n$, что площадь прямоугольника $\varPi(A_{i-1},A_i)$, $i=1$, 2, $\ldots$, $n$, равна $\dfrac1{n^2}$; существование таких точек, очевидно, вытекает из непрерывности и монотонности функции $f$. Для каждого из этих прямоугольников сумма длины основания и высоты не меньше $2\sqrt{\dfrac1{n^2}}=\dfrac2n$, поэтому сумма координат точки $A_n$ (равных, соответственно, сумме длин оснований всех прямоугольников и сумме их высот), не меньше 2. Следовательно, хотя бы одна из этих координат не меньше 1, а значит, построенные $n$ прямоугольников покрывают график.
2) Выберем на графике функции $f$ последовательно точки $B_0$, $B_1$, $\ldots$, $B_n$, начиная с $B_0(0;0)$, так, чтобы сумма длины основания и высоты каждого из прямоугольников $\varPi(B_{i-1},B_i)$, $i=1$, $\ldots$, $n$, равнялась $\dfrac2n$. (Легко видеть, что $B_i$ — это точка пересечения прямой $y=\dfrac{2i}n-x$ с графиком, в частности, $B_n$ — это конец графика — точка $(1;1)$; см. рис. 2.) В силу сделанной выше оценки площадь каждого из прямоугольников не превосходит $\dfrac1{n^2}$. Увеличив их при необходимости так, чтобы их площади стали в точности равны $\dfrac1{n^2}$, получим требуемое покрытие.
Если $f(0)\gt0$ или $f(1)\lt1$, дополним график вертикальными отрезками, соединяющими точку $(0;0)$ с его началом $(0;f(0))$ и $(1;1)$ — с концом $(1;f(1))$ (рис. 3). Получится непрерывная кривая, соединяющая точки $(0;0)$ и $(1;1)$, к которой оба приведённых рассуждения можно применить практически без изменений.
Такой же приём позволяет доказать утверждение задачи для любой (возможно, разрывной) функции $f$: в точках разрыва график дополняется до непрерывной кривой отрезком (красный отрезок на рисунке 4). Однако строгое обоснование в этом случае несколько выходит за рамки школьной программы.
