«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
В таблице $n \times n$, заполненной числами, все строки различны. Докажите, что из таблицы можно вычеркнуть некоторый столбец так, что в оставшейся таблице все строки также будут различны.
В квадрате со стороной 1 проведено конечное число отрезков, параллельных его сторонам. Отрезки могут пересекать друг друга. Сумма длин проведённых отрезков равна 18. Докажите, что среди частей, на которые квадрат разбивается этими отрезками, найдётся такая, площадь которой не меньше…
$N$ друзей одновременно узнали $N$ новостей, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями. За один разговор можно передать сколько угодно новостей. Какое минимальное количество звонков необходимо, чтобы все узнали все…
При каких натуральных $n\ge3$ существуют различные натуральные числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$, такие, что $1\le a_k\le n+1$ для любого $k=1$, 2, $\ldots$, $n$ и все $n$ чисел…
Пары последовательных натуральных чисел (8, 9); (288, 289) обладают тем свойством, что каждое из этих чисел содержит любой простой множитель не менее чем во второй степени.
Непрерывная и монотонная функция $f$ определена на отрезке $[0;1]$ и принимает значения также на отрезке $[0;1]$. Докажите, что её график можно прикрыть $n$ прямоугольниками площади $\dfrac1{n^2}$ каждый (стороны прямоугольников параллельны…
Натуральные числа $a$, $b$, $c$ и $d$ удовлетворяют равенству $ab=cd$. Докажите, что число $a^{1984}+b^{1984}+c^{1984}+d^{1984}$ составное.
Последовательность $x_1$, $x_2$, $\ldots$ задаётся условиями $x_1=\dfrac12$, $x_{n+1}=x_n^2+x_n$ ($n=1$, 2, $\ldots$). Найдите целую часть числа $$ \dfrac1{x_1+1}+\dfrac1{x_2+1}+\ldots+\dfrac1{x_{100}+1}. $$
Выписаны $n$ чисел 2, 3, $\ldots$, $n+1$, их всевозможные произведения по два, по три и так далее вплоть до произведения всех $n$ этих чисел. Докажите, что сумма чисел, обратных всем выписанным, равна $\dfrac n2$.…
Сколько существует перестановок чисел 1, 2, $\ldots$, $n$, в которых для любого числа $i$, стоящего не на первом месте, хотя бы одно из чисел $i-1$ и $i+1$ находится левее $i$?
Каждый из семи мальчиков в воскресенье 3 раза подходил к киоску мороженого. Известно, что каждые два из них встречались около киоска. Докажите, что в некоторый момент там встречались одновременно трое мальчиков.
Можно ли расположить в пространстве тетраэдр, шар и плоскость таким образом, чтобы площади сечений тетраэдра и шара любой плоскостью, параллельной выбранной, были равны?
На плоскости $Oxy$ расположено $n$ непересекающихся квадратов со стороной 1, стороны которых параллельны осям. Известно, что любые два из них можно пересечь прямой, параллельной одной из осей. Докажите, что можно одной прямой, параллельной оси, пересечь некоторые…
Текст задачи готовится
Имеется 100 серебряных монет, упорядоченных по весу, и 101 золотая монета, также упорядоченные по весу. Известно, что все монеты различны по весу. В нашем распоряжении — двухчашечные весы, позволяющие про каждые две монеты установить, какая тяжелее. Как за наименьшее число взвешиваний найти…