Ушаков Р. П. / Авторы задач / Задачи // Архив журнала «Квант»

Задачи по математике‍‍

Задача М485
1. Докажите, что число $e$‍‍ заключено между числами $a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n$‍‍ и $b_n=\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}$‍‍ при любом натуральном $n$‍.‍
2. Докажите, что последовательность $c_n=\left(1+\dfrac1{4n}\right)\left(1+\dfrac1n\right)^n$‍‍ монотонно возрастает, а последовательность…
Задача М510
В книге «Венгерские математические олимпиады» приводится такая задача (№ 148): «Доказать, что для всех положительных $\alpha\lt\pi$‍,‍ выполнено неравенство $$\sin\alpha+\dfrac12\sin 2\alpha+\dfrac13\sin3\alpha\gt0\,\text{»}.$$

Докажите следующее обобщение этого неравенства: для всех $0\lt\alpha\lt\pi$‍‍ и натурального…
Задача М805
1. На сторонах $BC$‍,‍ $CA$‍,‍ $AB$‍‍ треугольника $ABC$‍‍ выбраны соответственно точки $A_1$‍,‍ $B_1$‍,‍ $C_1$‍‍ так, что отрезки $AA_1$‍,‍ $BB_1$‍‍ и $CC_1$‍‍…
Задача М1024
Докажите, что для любых двух треугольников с углами $\alpha$‍,‍ $\beta$‍,‍ $\gamma$‍‍ и $\alpha_1$‍,‍ $\beta_1$‍,‍ $\gamma_1$‍‍ выполнено неравенство $$ \dfrac{\cos\alpha_1}{\sin\alpha}+\dfrac{\cos\beta_1}{\sin\beta}+\dfrac{\cos\gamma_1}{\sin\gamma}\le\ctg\alpha+\ctg\beta+\ctg\gamma. $$

Ушаков Р. П.‍4

Задачи по математике‍‍