«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Докажите, что каждое натуральное число представляется в виде $a_0+2a_1+2^2a_2+\ldots+2^na_n$, где каждое из чисел $a_k=0$, $-1$ или 1 и $a_k\cdot a_{k+1}=0$ для всех $0\le k\le n-1$, причём такое представление единственно.
Обозначим через $S_n$ сумму первых $n$ простых чисел: $S_1 =2$, $S_2=2+3=5$, $S_3=2+3+5=10$, $S_4=17$ и т. д. Докажите, что при любом $n$ между $S_n$ и $S_{n+1}$ встречается точный квадрат.
Точка $O$ — середина оси прямого кругового цилиндра, $A$ и $B$ — диаметрально противоположные точки окружности нижнего основания цилиндра, $C$ — некоторая точка окружности верхнего основания, не лежащая в плоскости $OAB$.…
В клетки таблицы размера $3\times 3$ записывают числа 1 или $-1$. Затем число в каждой клетке заменяется на произведение чисел, стоящих во всех соседних клетках (соседними считаются клетки, имеющие общую сторону). Докажите, что после нескольких повторений этой операции во…
Текст задачи готовится