Пусть $D$ — точка окружности верхнего основания цилиндра, диаметрально противоположная точке $C$ (рис. 1). Мы докажем, что трёхгранные углы $OABC$, $OBCD$, $OCDA$ и $ODAB$ с общей вершиной $O$ попарно конгруэнтны. Поскольку каждые три из этих углов имеют общее ребро ($OA$, $OB$, $OC$ или $OD$), очевидно, что сумма их двугранных углов при этом ребре равна $2\pi$, а сумма всех их 12 двугранных углов равна $4\cdot2\pi=8\pi$. Следовательно, сумма двугранных углов каждого из них, в частности угла $OABC$, равна
$\dfrac{8\pi}{4}=2\pi$.
Рисунок номер 1
Для доказательства конгруэнтности этих трёхгранных углов заметим, что противоположные рёбра тетраэдра $ABCD$ попарно равны ($|AB|=|CD|$ как диаметры конгруэнтных окружностей, а рёбра $AC$ и $BD$, а также $AD$ и $BC$ взаимно симметричны относительно оси цилиндра (см. рис.). А так как точка $O$ равноудалена от всех вершин тетраэдра, $\triangle OAB\cong\triangle OCD$, $\triangle OAC\cong\triangle OBD$ и $\triangle OAD\cong\triangle OBC$. Поэтому рассматриваемые трёхгранные углы имеют соответственно равные плоские углы, а значит, конгруэнтны. Конгруэнтность трёхгранных углов можно доказать и явно, заметив, что прямые, соединяющие середины рёбер $AC$ и $BD$, а также $AD$ и $BC$, как и ось цилиндра, являются осями симметрии тетраэдра $ABCD$.
Тетраэдр $ABCD$ с конгруэнтными гранями, который помог нам решить задачу, обладает многими замечательными свойствами. Большой список его свойств имеется в статье В.З.Матизена в «Кванте» № 6 за этот год.
