а) Обозначим левую часть уравнения через $P(x,y)$. Её можно переписать так:
$$
P(x,y)=x^3-3xy^2+y^3=(y-x)^3+3(y-x)x^2-x^3=-y^3+3y(x-y)^2+(x-y)^3.
$$
Следовательно, $P(x,y)=P(y-x,-x)=P(-y,x-y)$. Поэтому, если пара целых чисел $(x,y)$ является решением нашего уравнения, то ему удовлетворяют также ещё две пары — $(y-x,-x)$ и $(-y,x-y)$. Все эти три пары различны, ибо в противном случае $x=y=0$, что невозможно при $n\ne0$.
б) Чтобы убедиться, что уравнение $x^3-3xy^2+y^3=2891$ не имеет целочисленных решений, достаточно доказать, что левая часть ни при каких целых $x$ и $y$ не даёт при делении на 9 в остатке 2, поскольку $2891=9\cdot321+2$. Для доказательства воспользуемся таблицей, в которой для всевозможных остатков от деления числа $a$ на 9 приведены остатки для чисел $3a$ и $a^3$.
Таблица
Из второй и третьей строк таблицы видно, что остаток 2 в левой части может получиться тогда, и только тогда, когда остатки от деления $x^3$, $3xy^2$ и $y^3$ на 9 соответственно равны 1, 0, 1; 0, 6, 8 или 8, 6, 0. В первом случае $3xy^2$ делится на 9, поэтому $x$ или $y$ делится на 3 и не может давать при делении на 9 остаток 1. Во втором и третьем, соответственно, $x$ или $y$ делится на 3, поэтому $3xy^2$ делится на 9 без остатка, а не даёт остаток 6, как нам требуется.
