Задача М74‍‍

Выразим $x$‍‍ через новую переменную $y=x-\dfrac a2$‍.‍ Тогда $x=\dfrac a2+y$‍,‍ $a-x=\dfrac a2-y$‍.‍ Если в многочлен $p(x)$‍‍ вместо $x$‍‍ подставить $\dfrac a2+y$‍,‍ то получится многочлен от переменной $y$‍:‍ $p\left(\dfrac a2+y\right)$‍,‍ который будет удовлетворять условию $$ p\left(\dfrac a2+y\right)=p\left(\dfrac a2-y\right).\tag1 $$ Пусть $$ p\left(\dfrac a2+y\right)=b_0+b_1y+b_2y^2+b_3y^3+\ldots+b_ny^n.\tag2 $$ Тогда $p\left(\dfrac a2-y\right)=b_0-b_1y+b_2y^2-b_3y^3+\ldots+b_ny^n$‍,‍ и равенство (1) после упрощения принимает вид: $$ b_1y+b_3y^3+\ldots=0,\tag3 $$ (сюда входят все члены из (2) с $y$‍‍ в нечётных степенях и только они).

Теперь «очевидно», что $$ b_1=b_3=\ldots=0,\tag4 $$ откуда $$ p\left(\dfrac a2+y\right)=b_0+b_2y^2+b_4y^4+{\ldots}, $$ $p\left(\dfrac a2+y\right)$‍‍ представляется как многочлен от $y^2$‍,‍ т. е. $p(x)$‍‍ представляется как многочлен от $\left(x-\dfrac a2\right)^2$‍.‍ (Мы советуем вам проделать все эти преобразования для многочлена $x^5+(1-x)^5$‍,‍ упомянутого в условии задачи.)

Решений такого рода нам было прислано довольно много. Но если мы стоим на позициях математической строгости, то должны объяснить, почему «очевидно», что из (3) следует (4).

Для этого уточним, как мы понимаем равенство двух многочленов, например, равенство (3) или (2), или (1), или равенства в условии задачи.

Обычно в школе понимают такое равенство как равенство функций, т. е. как равенство левой и правой части при всех числовых значениях переменной. Тогда для обоснования перехода от (3) к (4) нужно сослаться на теорему о многочлене, тождественно равном нулю: если $c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots+c_nx^n=0$‍‍ при всех вещественных значениях $x$‍,‍ то $c_0=c_1=\ldots=c_n=0$‍.‍

Заметим, что в более современных учебниках алгебры обычно понимают равенство многочленов как равенство соответствующих коэффициентов (после приведения к стандартному виду $a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n$‍).‍ Если все равенства в нашей задаче понимать так, то в переходе от (3) к (4) слово «очевидно» нужно заменить словом «по определению». Более подробному разговору о том, что такое многочлен, как точно определить различные операции над многочленами, мы посвятим отдельные заметки в «Кванте» в будущем году.