Тоом Андрей Леонович / Авторы задач / Задачи // Архив журнала «Квант»

Условия задач‍‍

Задача М215
На бесконечном клетчатом листе белой бумаги $n$‍‍ клеток закрашено в чёрный цвет. В моменты времени $t = 1$‍,‍ 2, $\ldots$‍‍ происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клетка $k$‍‍ приобретает тот цвет,…
Задача М651
Дама сдавала в багаж диван, чемодан, саквояж, корзину, картину, картонку и маленькую собачонку. Диван весил столько же, сколько чемодан и саквояж, вместе взятые, и столько же, сколько картина, корзина и картонка, вместе взятые. Картина, корзина и картонка весили поровну и каждая из них — больше,…
Задача М655
На столе у чиновника Министерства околичностей лежит $n$‍‍ томов Британской энциклопедии, сложенных в несколько стопок. Каждый день, придя на работу, чиновник берёт из каждой стопки по одному тому и складывает взятые тома в новую стопку, затем располагает стопки по количеству…
Задача М817
Точка $K$‍‍ лежит на стороне $BC$‍‍ треугольника $ABC$‍.‍ Докажите, что соотношение $$ |AK|^2=|AB|\cdot|AC|-|KB|\cdot|KC| $$ выполнено тогда и только тогда, когда $|AB|=|AC|$‍‍ или $\widehat{BAK}=\widehat{CAK}$‍.‍
Задача М925
(Эволюция кляксы.) На белой плоскости расположена синяя фигура $K_0$‍.‍ Из неё получается новая синяя фигура $K_1$‍‍ по следующему правилу, применяемому одновременно ко всем точкам $M$‍‍ плоскости: если не менее половины площади круга радиуса 1 с центром в точке…

Решения задач‍‍

Задача М3
На рисунке 1 плоскость покрыта квадратами пяти цветов. Центры квадратов одного и того же цвета расположены в вершинах квадратной сетки. При каком числе цветов возможно аналогичное заполнение плоскости?

На рисунке 2 плоскость покрыта шестиугольниками семи цветов так, что…
Задача М4
Дан отрезок $AB$‍.‍ Найти на плоскости множество точек $C$‍‍ таких, что в треугольнике $ABC$‍‍ медиана, проведённая из вершины $A$‍,‍ равна высоте, проведённой из вершины $B$‍.‍
Задача М5
В множестве $E$‍,‍ состоящем из $n$‍‍ элементов, выделены $m$‍‍ различных подмножеств (отличных от самого $E$‍)‍ так, что для каждых двух элементов $E$‍‍ найдётся ровно одно из данных подмножеств, в которое входят оба эти…
Задача М74
Многочлен $p$‍‍ обладает таким свойством: для некоторого числа $a$‍‍ $$ p(x)=p(a-x). $$

Докажите, что $p(x)$‍‍ можно представить в виде многочлена от $\left(x-\dfrac{a}{2}\right)^2$‍.‍ Например, если $p(x)=x^5+(1-x)^5$‍,‍ то, очевидно, $p(x)=p(1-x)$‍‍ и, как…
Задача М176
К какой стороне треугольника $ABC$‍‍ ближе всего расположена точка пересечения его высот, если $\angle A\lt\angle B\lt\angle C$‍?‍ А к какой вершине?
Задача М177
Найдите все решения уравнения $$ \sqrt[\scriptstyle n~]{x^n-a^n}+\sqrt[\scriptstyle n~]{2a^n-x^n}=a, $$ где $a$‍‍ — заданное вещественное число, $n$‍‍ — натуральное число, большее единицы.
Задача М180
Двое играют в такую игру. Один задумывает натуральное число $n$‍,‍ а другой задаёт вопросы типа «верно ли, что $n \ge x$‍‍» ($x$‍‍ он может выбирать по своему усмотрению) и получает ответы «да» или «нет». Каждой возможной стратегии $T$‍‍ второго игрока…
Задача М211
Дано $n$‍‍ точек, $n \gt 4$‍.‍ Докажите, что можно соединить их стрелками так, чтобы из каждой точки в каждую можно было попасть, пройдя либо по одной стрелке, либо по двум (каждые две точки можно соединить стрелкой только в одном направлении; идти по стрелке можно только в…
Задача М212
На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено 14 монет. Эксперт обнаружил, что семь из них — фальшивые, остальные — настоящие, причём узнал, какие именно фальшивые, а какие — настоящие. Суд же знает только, что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково и…
Задача М301
На плоскости заданы $2n$‍‍ точек — $n$‍‍ синих и $n$‍‍ красных, причём никакие три точки не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести $n$‍‍ отрезков так, что у каждого отрезка один конец лежит в красной точке, другой — в синей точке, и…
Задача М304
Будем обозначать кружочком некоторую (неизвестную пока) операцию, применимую к любым двум целым неотрицательным числам $a$‍‍ и $b$‍‍ и дающую в результате тоже целое неотрицательное число $a\circ b=c$‍.‍ Пусть операция «$\circ$‍‍» удовлетворяет следующим…
Задача М307
Плоскость разбита на одинаковые шестиугольные комнаты (рис. 2). В некоторых стенах проделаны двери так, что для любой вершины, в которой сходятся три стены (стороны шестиугольников), двери имеются ровно в двух стенах. Докажите, что любой замкнутый путь по такому лабиринту проходит через…
Задача М327
В компании $N$‍‍ человек. Каждому из них нравится ровно $k$‍‍ людей из этой компании. При каком наименьшем $k$‍‍ можно утверждать, что обязательно найдутся два человека из этой компании, которые нравятся друг другу?

Андрей Леонович Тоом‍18

Условия задач‍‍

Решения задач‍‍