Задача М74‍‍

Многочлен $p$‍‍ обладает таким свойством: для некоторого числа $a$‍‍ $$ p(x)=p(a-x). $$

Докажите, что $p(x)$‍‍ можно представить в виде многочлена от $$ \left(x-\frac{a}{2}\right)^2. $$

Например, если $p(x)=x^5+(1-x)^5$‍,‍ то, очевидно, $p(x)=p(1-x)$‍‍ и, как нетрудно проверить, $$ p(x)=5y^2+\frac{5}{2}y+\frac{1}{16}, $$ где $$ y=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2. $$