Задача М691‍‍

а) Число $2\cdot3\cdot4=24$‍‍ обладает свойствами (1) и (3). Приписав к обеим частям равенства $2\cdot3\cdot4=24$‍‍ все натуральные числа от 5 до 23, получим число $$ 2\cdot3\cdot4\cdot\underline{5\cdot6\cdot\ldots\cdot23}= \underline{5\cdot6\cdot\ldots\cdot23}\cdot24, $$ обладающее свойствами (20) и (22). Разумеется, примеров такого типа — бесконечное множество: если $b=a(a+1)(a+2)$‍,‍ то число $$ a(a+1)(a+2)\underline{(a+3)\cdot\ldots\cdot(b-1)}= \underline{(a+3)\cdot\ldots\cdot(b-1)}b $$ обладает свойствами $(b-a-2)$‍‍ и $(b-a)$‍.‍

Существуют примеры и другого рода: например, число $$ 2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6=8\cdot9\cdot10 $$ обладает свойствами (3) и (5). Приписав сюда «пропущенную» семёрку, мы получим число, обладающее свойствами (4) и (6): $$ 2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot\underline7=\underline7\cdot8\cdot9\cdot10. $$

И вообще, если у нас имеется число, обладающее свойствами $(K)$‍‍ и $(K+2)$‍:‍ $$ (m+1)\cdot\ldots\cdot(m+K)=(n+1)\cdot\ldots\cdot(n+K+2), $$ причём $n\gt m+K$‍,‍ то число $$ \begin{gathered} (m+1)\cdot\ldots\cdot(m+K)\cdot\underline{(m+K+1)\cdot\ldots\cdot n}=\qquad\\ \qquad=\underline{(m+K+1)\cdot\ldots\cdot n}\cdot(n+1)\cdot\ldots\cdot(n+K+2) \end{gathered} $$ обладает свойствами $(n-m)$‍‍ и $(n-m+2)$‍.‍

Можно также, наоборот, вычёркивать последовательные натуральные числа, входящие в обе части соответствующего равенства.

б) Предположим, что для некоторых $m$‍‍ и $n$‍‍ $$ m(m+1)=n(n+1)(n+2)(n+3); $$ тогда $$ m^2+m+1=(n^2+3n+1)^2, $$ что невозможно, поскольку $$ m^2\lt m^2+m+1\lt(m+1)^2. $$