«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Докажите, что если $a$, $b$, $c$, $d$, $x$, $y$, $u$, $v$ — вещественные числа и $abcd\gt0$, то $$ \begin{gathered} (ax+bu)(av+by)(cx+dv)(cu+dy)\ge\\ \ge(acuvx+bcuxy+advxy+bduvy)(acx+bcu+adv+bdy). \end{gathered} $$
Из шахматной доски ($8\times8$) удалена одна угловая клетка ($1\times1$) (рис. 1). На какое наименьшее число равновеликих треугольников (одинаковых по площади) можно разрезать оставшуюся часть доски?
Докажите, что существует такое число $A$, что в график функции $y = A \sin x$ можно вписать не менее 1978 попарно неконгруэнтных квадратов. (Квадрат называется вписанным, если все его вершины принадлежат графику.)
Двузначные числа от 19 до 80 выписаны подряд. Делится ли получающееся число 192021...7980 на 1980?
Будем говорить, что число обладает свойством $(K)$, если оно разлагается в произведение $K$ последовательных натуральных чисел, больших 1.