«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Множество $A$ состоит из целых чисел, его наименьший элемент равен 1, а наибольший элемент равен 100. Каждый элемент $A$, кроме 1, равен сумме двух (возможно, равных) чисел, принадлежащих $A$. Укажите среди всех множеств $A$,…
В тетраэдре $ABCD$ $(AC)\perp(BC)$ и $(AD)\perp(BD)$. Докажите, что косинус угла между прямыми $AC$ и $BD$ меньше, чем $\dfrac{|CD|}{|AB|}$.
Последовательность $a_1$, $a_2$, $\ldots$ задаётся правилами: $a_{2n}=a_n$ при $n\ge 1$ и $a_{4n+1}=1$, $a_{4n+3}=0$ при $n\ge 0$. Докажите, что эта последовательность не имеет периода.
Можно ли все клетки какой-нибудь прямоугольной таблицы окрасить в белый и чёрный цвета так, чтобы белых и чёрных клеток было поровну, а в каждой строке и в каждом столбце было более $\dfrac34$ клеток одного цвета?