Проведём $(BE) \parallel (CA)$ и $(AE) \parallel (CB)$ (см. рисунок). Косинус угла между прямыми $AC$ и $BD$ — это $|\cos \widehat{DBE}|$.
С другой стороны, четырёхугольник $ACBE$ — прямоугольник, поэтому $|AB| = |CE|$ и $\dfrac{|CD|}{|AB|}=\dfrac{|CD|}{|CE|}$.
Заметим, что вершины прямых углов $ACB$, $ADB$, $AEB$ лежат на сфере с диаметром $AB$. Отрезок $CE$ тоже является диаметром этой сферы, поэтому угол $CDE$ — прямой и $\dfrac{|CD|}{|CE|}=\cos \widehat{DCE}$. Нужное неравенство принимает теперь вид $|\cos \widehat{DBE}| \lt \cos \widehat{DCE}$.
Пусть $R$ — радиус сферы и $r$ — радиус окружности, получающейся в сечении сферы плоскостью $BDE$. Так как эта плоскость не проходит через центр сферы, $r \lt R$ и из равенств $2r \cdot \sin \widehat{DBE}=|DE|=2R \cdot \sin \widehat{DCE}$ получаем $\sin \widehat{DBE} \gt \sin \widehat{DCE}$. Значит, $|\cos \widehat{DBE}| \lt |\cos \widehat{DCE}|=\cos \widehat{DCE}$.
Рисунок
