Можно ли числа 1, 2, $\ldots$, 30 разбить на группы
по пять чисел,
по шесть чисел
так, чтобы суммы чисел во всех группах были одинаковыми?
При каких $n$ и $k$ числа 1, 2, $\ldots$, $nk$ можно разбить на $n$ групп по $k$ чисел так, чтобы суммы чисел во всех группах были одинаковыми?
Назовём разбиение, удовлетворяющее условиям правильным. Ответ на общий вопрос в) задачи даёт
Теорема.Чтобы множество $\{1,2,\ldots,nk\}$ допускало правильное разбиение на $k$-элементные подмножества, необходимо и достаточно, чтобы либо $k$ было чётным, либо $nk$ нечётным.
Необходимость этих условий очевидна. В самом деле, пусть такое разбиение существует; тогда сумма всех чисел $\dfrac{nk(nk+1)}2$ делится на $n$ (количество подмножеств), т. е. число $\dfrac{k(nk+1)}2$ — целое; поэтому либо $k$ чётно, либо $nk+1$ чётно, т. е. $nk$ нечётно.
Отсюда видно, что ответ на вопрос а) задачи — отрицательный ($k=5$ нечётно, а $n=6$ чётно).
Для доказательства достаточности сформулируем теорему в более наглядном виде:
Чтобы $nk$ чисел $\{1,2,\ldots,nk\}$ можно было расставить в таблицу из $k$ строк и $n$ столбцов правильным образом (суммы чисел во всех столбцах одинаковы), необходимо и достаточно, чтобы либо $k$ было чётным, либо $nk$ — нечётным.
Пусть $k$ чётно. Тогда числа можно расставить в таблицу «змейкой» (рис. 1; для каждых двух последовательных строк сумма чисел в любом столбце одинакова).
Рис. 1Рис. 2
Пусть $nk$ нечётно. Расставим «правильно» в трёх верхних строках таблицы числа $\{1,2,\ldots,3n\}$ (оставшиеся числа, начиная с числа $3n+1$, можно расставить в таблицу $(k-3)\times n$ змейкой, поскольку $k-3$ чётно — рис. 2). Как это сделать при $n=3$, 5, 7, показано на рисунках 3, а—в. Аналогичным образом можно построить таблицу $3\times n$ для любого нечётного $n=2m+1$ (рис. 4; проверьте, что в неё входит по разу любое число от 1 до $3n=6m+3$).
Рис. 3
Легко видеть, что справедливо тривиальное обобщение доказанной теоремы: чтобы $nk$ чисел $\{a+1$, $a+2$, $a+3$, $\ldots$, $a+nk\}$ можно было расставить в таблицу из $k$ строк и $n$ столбцов правильным образом, необходимо и достаточно, чтобы либо $k$ было чётным, либо $nk$ — нечётным.
Рис. 4
Это обобщение подсказывает ещё один способ «правильной расстановки» в прямоугольнике $3\times n$: надо разбить прямоугольник $3\times n$ на прямоугольники $3\times3$, $3\times5$ (любое нечётное число $n\ge9$ можно представить в виде $n=3p+5q$, где $p$, $q$ — целые неотрицательные числа) и правильным образом расположить в них отрезки ряда $\{1,2,\ldots,3n\}$ — cooтветственно, из 9 и 15 чисел — так, как в уже готовых табличках на рисунках 3, а, б (при этом в каждом прямоугольнике придётся добавить к числам свою константу $a$).
Подумайте над таким более сложным вопросом: при каких $k\lt n$ существует «магический прямоугольник» из чисел 1, 2, $\ldots$, $nk$, у которого суммы чисел по всем строкам равны между собой и суммы чисел по столбцам тоже. Магический квадрат существует при любом $n\ge3$ (см. книгу М. М. Постникова «Магические квадраты», М.: Наука, 1964).
