Задача М605‍‍

На плоскости отмечены $2n+1$‍‍ различных точек. Занумеруем их числами 1, 2, $\ldots$‍,‍ $2n+1$‍‍ и рассмотрим следующее преобразование $R$‍‍ плоскости: сначала делается симметрия относительно первой точки, затем — относительно второй и т. д. — до $(2n+1)$‍‍-й точки.

1. Покажите, что у этого преобразования $R$‍‍ есть единственная «неподвижная точка» (точка, которая отображается в себя).

Рассмотрим всевозможные способы нумерации наших $2n+1$‍‍ точек (числами 1, 2, $\ldots$‍,‍ $2n+1$‍).‍ Каждой такой нумерации соответствуют своё преобразование плоскости $R$‍‍ и своя неподвижная точка. Пусть $F$‍‍ — множество неподвижных точек всех этих преобразований.

2. Укажите множество $F$‍‍ для $n=1$‍.‍
3. Какое максимальное и какое минимальное количество точек может содержать множество $F$‍‍ при каждом $n=2$‍,‍ 3, $\ldots$‍?‍