«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
На плоскости заданы 12 точек, являющихся вершинами четырёх квадратов $A_1B_1A_2C_1$, $A_2C_2A_3B_2$, $A_3B_3A_4C_3$ и $A_4C_4A_1B_4$ (вершины каждого квадрата перечислены по часовой стрелке). Докажите, что $B_1B_2B_3B_4$ и $C_1C_2C_3C_4$ — конгруэнтные параллелограммы, один…
Два треугольника $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$, площади которых равны $S_1$ и $S_2$, расположены так, что лучи $A_1B_1$ и $A_2B_2$, $B_1C_1$ и $B_2C_2$, $C_1A_1$ и $C_2A_2$ параллельны, но противоположно…
Решите систему уравнений $$ x+\dfrac{3x-y}{x^2+y^2}=3,\quad y-\dfrac{x+3y}{x^2+y^2}=0. $$
На сторонах треугольника $ABC$ во внешнюю сторону построены подобные между собой треугольники $ADB$, $BEC$ и $CFA$ $\Big(\dfrac{|AD|}{|DB|}=\dfrac{|BE|}{|EC|}=\dfrac{|CF|}{|FA|}=k$; $\widehat{ADB}=\widehat{BEC}=\widehat{CFA}=\alpha\Big)$. Докажите, что:
Дан правильный треугольник $ABC$. Некоторая прямая, параллельная прямой $AC$, пересекает прямые $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $P$ соответственно. Точка $D$ — центр треугольника $PMB$, точка…
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ как на гипотенузах построены вне его прямоугольные треугольники $APB$ и $BQC$ с одинаковыми углами величины $\beta$ при их общей вершине $B$ (см. рис. 1).…
На плоскости расположены три окружности $C_1$, $C_2$, $C_3$ радиусов $r_1$, $r_2$, $r_3$ — каждая вне двух других, причём $r_1\gt r_2$ и $r_1\gt r_3$. Из точки пересечения внешних касательных к окружностям…
Две параболы расположены на плоскости так, что их оси взаимно перпендикулярны и параболы пересекаются в четырёх точках. Докажите, что эти четыре точки лежат на одной окружности.