Докажите, что существует такое число $A$, что в график функции $y = A \sin x$ можно вписать не менее 1978 попарно неконгруэнтных квадратов. (Квадрат называется вписанным, если все его вершины принадлежат графику.)
В. Федотов
Всесоюзная математическая олимпиада школьников (XII, 1978 год, 10 класс)
Для того чтобы точка $(x;y)$ была вершиной вписанного в график $\mathit\Gamma$ квадрата с центром $O=(0;0)$, достаточны условия $(x;y)\in\mathit\Gamma$ и $(-y;x)\in\mathit\Gamma$, т. есть условия
$$
y=A\sin x,\quad -x=A\sin y;
$$
при этом $(-x;-y)\in\mathit\Gamma$ и $(y;-x)\in\mathit\Gamma$, так как $O$ — центр симметрии графика $\mathit\Gamma$ (рис. 1; функция $y=A\sin x$ нечётна). Тем самым каждому корню уравнения
$$
\sin(A\sin x)=-\dfrac xA,\quad x\gt0,\quad y=A\sin x\gt0\tag1
$$
соответствует вписанный квадрат с центром $O$. Покажем, что при большом $A$ это уравнение имеет много корней.
На каждом из отрезков $x\in\left[2\pi k;2\pi k+\dfrac\pi2\right]$ величина $y=A\sin x$ увеличивается от 0 до $A$; на каждом из отрезков $x\in\left[2\pi k+\dfrac\pi2;2\pi k+\pi\right]$ — уменьшается от $A$ до 0 (рис. 2; $k=1$, 2, $\ldots$). Возьмём $A=2\pi n$. Тогда величина $z=\sin y$ при $y$, меняющемся от 0 до $A$, пробегает отрезок $[-1;1]$ $2n$ раз (начинается и заканчивается этот «пробег» при $z=0$). Пусть $k\lt n$. Тогда на каждом отрезке $\left[2\pi k;2\pi k+\dfrac\pi2\right]$ и $\left[2\pi k+\dfrac\pi2;2\pi k+\pi\right]$ уравнение (1) будет иметь $2n$ корней — при каждом переходе от 0 к $(-1)$ и обратно график $z=\sin(A\sin x)$ пересекает прямую $z=-\dfrac xA$ $2n$ раз, поскольку $\left|\dfrac xA\right|\lt1$ при $0\le x\le2\pi k+\pi\le A$, — а всего уравнение (1) будет иметь $4n^2$ корней ($k=0$, 1, $\ldots$, $n-1$).
Чтобы быть уверенными в том, что квадраты попарно неконгруэнтны, возьмём лишь $x\in\left[0;\dfrac\pi2\right]$. При $A\gt1978\pi$ уравнение (1) будет иметь на этом отрезке не менее 1978 корней, причём чем больше $x$, тем больше $y=A\sin x$ и $\sqrt{x^2+y^2}$; значит, все соответствующие 1978 квадратов неконгруэнтны.
Другое, более геометрическое решение задачи M513 можно получить, основываясь на таком соображении: повернём график $\mathit\Gamma$ функции $y=A\sin x$ на $90^\circ$ вокруг точки $O$. Тогда любая точка пересечения графика $\mathit\Gamma$ и повёрнутого графика $\mathit\Gamma'$ (кроме $O$) служит вершиной квадрата с центром $O$, вписанного в $\mathit\Gamma$.
Заметим, что все квадраты, о которых шла речь в наших решениях, имеют центры симметрии в точке $O$. По-видимому, любой квадрат, вписанный в $\mathit\Gamma$, имеет центр симметрии в одной из точек $(2\pi n;0)$ (т. е. в одном из центров симметрии графика $\mathit\Gamma$); попробуйте это доказать.
