Задача М455‍‍

Мы будем рассматривать многочлены $P$‍,‍ $Q$‍,‍ $R$‍,‍ $\ldots$‍‍ от одного переменного со старшим коэффициентом 1. Будем говорить, что два таких многочлена $P$‍‍ и $Q$‍‍ коммутируют, если многочлены $P(Q(x))$‍‍ и $Q(P(x))$‍‍ тождественно равны (т. е. после раскрытия скобок и приведения к стандартному виду все коэффициенты этих многочленов совпадают).

1. Для каждого числа $a$‍‍ найдите все многочлены степени не выше 3, коммутирующие с многочленом $P(x)=x^2-a$‍.‍
2. Пусть $P$‍‍ — многочлен степени 2, $k$‍‍ — натуральное число. Докажите, что существует не более одного многочлена степени $k$‍,‍ коммутирующего с $P$‍.‍
3. Найдите все многочлены степеней 4 и 8, коммутирующие с данным многочленом $P$‍‍ степени 2.
4. Многочлены $Q$‍‍ и $R$‍‍ коммутируют с одним и тем же многочленом $P$‍‍ степени 2. Докажите, что они коммутируют между собой.
5. Докажите, что существует бесконечная последовательность многочленов $P_2$‍,‍ $P_3$‍,‍ $P_4$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $P_k$‍,‍ $\ldots$‍,‍ где $P_k$‍‍ — многочлен степени $k$‍,‍ в которой любые два многочлена коммутируют, и многочлен $P_2$‍‍ имеет вид $P_2(x)=x^2-2$‍.‍