Пусть $A$ — вершина многогранника, $AB$, $AC$, $AD$ — выходящие из неё рёбра. Поскольку точки $A$, $B$, $C$, $D$ не лежат в одной плоскости, через них можно провести сферу; обозначим эту сферу через $S_A$ (рис. 1).
Рисунок 1
Пусть $A$ и $B$ — соседние вершины. Докажем, что сферы $S_A$ и $S_B$ совпадают. Отсюда сразу вытекает, что сферы $S_X$ совпадают для всех вершин $X$, т. е. все вершины лежат на одной сфере.
Пусть $BE$ и $BF$ — рёбра, выходящие из вершины $B$. Они лежат в двух гранях $CAB$ и $DAB$, граничащих с ребром $AB$. Пусть, например, ребро $BE$ лежит в грани $CAB$, а ребро $BF$ — в грани $DAB$ (заметим, что точка $E$ может совпадать с $C$ и, аналогично, точка $F$ может совпадать с $D$). По условию, точки $C$, $A$, $B$, $E$ лежат на одной окружности. При этом три точки $C$, $A$ и $B$ лежат на окружности, которая получается при пересечении сферы $S_A$ плоскостью, проходящей через точки $C$, $A$, $B$. Так как через три различные точки можно провести не более одной окружности, то две построенные окружности совпадают, т. е. точка $E$ лежит на сфере $S_A$. Аналогично доказывается, что точка $F$ лежит на сфере $S_A$. Значит, сфера $S_A$ проходит через точки $B$, $A$, $E$, $F$, т. е. она совпадает со сферой $S_B$, что и требовалось.
