Туркевич Э. И. / Авторы задач / Задачи // Архив журнала «Квант»

Задачи по математике‍‍

Задача М247
Квадрат $6\times6$‍‍ нужно заполнить 12 плитками, из которых $k$‍‍ имеют форму уголка, а остальные $12-k$‍‍ — прямоугольника (см. рис. 1). При каких $k$‍‍ это возможно?
Задача М428
В олимпиаде участвуют $(m-1)n+1$‍‍ человек. Докажите, что среди них либо найдутся $m$‍‍ участников, попарно незнакомых между собой, либо найдётся один участник, знакомый не менее чем с $n$‍‍ участниками олимпиады. Останется ли верным утверждение задачи, если число…
Задача М433
В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$‍‍ сторона $BC$‍‍ параллельна диагонали $AD$‍,‍ сторона $CD$‍‍ — диагонали $BE$‍,‍ сторона $DE$‍‍ — диагонали $AC$‍‍ и сторона $AE$‍‍ — диагонали $BD$‍‍ (рис.…
Задача М455
Мы будем рассматривать многочлены $P$‍,‍ $Q$‍,‍ $R$‍,‍ $\ldots$‍‍ от одного переменного со старшим коэффициентом 1. Будем говорить, что два таких многочлена $P$‍‍ и $Q$‍‍ коммутируют, если многочлены $P(Q(x))$‍‍ и…
Задача М501
Выберем из последовательности степеней тройки: $$~3,~9,~27,~81,~243,~729,~2187,~6561,~\ldots$$ все числа, начинающиеся с цифры 9; пусть эти числа (по порядку) $3^{~f(1)}$‍,‍ $3^{~f(2)}$‍,‍ $3^{~f(3)}$‍,‍ $\ldots$‍‍ (в частности, $f(1)=2$‍,‍ так как первое из таких чисел…
Задача М506
Докажите, что для положительных $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ и $d$‍‍ справедливо неравенство: $$ \begin{gathered} a^4+b^4+c^4+d^4+2abcd\ge\\ \ge a^2b^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2. \end{gathered} $$
Задача М552
1. Найдите хотя бы одну пару $(p, q)$‍‍ целых чисел, отличных от нуля, для которой трёхчлены $x^2+px+q$‍‍ и $x^2+qx+p$‍‍ имеют целые корни.
2. Найдите все такие пары $(p,q)$‍.‍
Задача М564
Для каких точек $M$‍‍ стороны $BC$‍‍ треугольника $ABC$‍‍ верно утверждение: $\triangle MPQ \cong \triangle ABC$‍,‍ если точки $P$‍‍ и $Q$‍‍ являются:
1. центрами окружностей, описанных соответственно около…
Задача М606
Функция $f$‍‍ такова, что для всех действительных $x$‍‍ $$ f(x+1)+f(x-1)=\sqrt2\,f(x). $$ Докажите, что $f$‍‍ — периодическая функция.
Задача М677
Внутри остроугольного треугольника $ABC$‍‍ выбрана точка $M$‍,‍ являющаяся
1. точкой пересечения медиан;
2. точкой пересечения биссектрис;
3. точкой пересечения высот.
Докажите, что если радиусы…
Задача М712
Докажите, что любое положительное число можно представить в виде суммы девяти чисел, десятичные записи которых содержат только цифры 0 и 7.
Задача М2076
Текст задачи готовится

Туркевич Э. И.‍12

Задачи по математике‍‍