Задача М454‍‍

Ответ изображён на рисунке 3. Проверим его. После того как гном, помеченный красной точкой, разольёт своё молоко поровну остальным $\Big($‍‍по $\dfrac17~\text{л}\Big)$‍,‍ вновь получится (со сдвигом на одного гнома) точно такое же распределение молока; при этом $\dfrac67~\text{л}$‍‍ молока будет у того гнома, чья очередь разливать молоко. Ясно, что после семи переливаний мы вернёмся к первоначальному распределению.

Покажем теперь, как можно было догадаться до ответа, и докажем его единственность. Заметим, что в условиях задачи процесс переливаний по кругу можно считать периодически продолженным; поэтому все гномы совершенно равноправны.

Естественно сначала искать такое распределение молока, которое повторится (со сдвигом на одного гнома) уже после одного переливания. При этом каждый следующий гном будет разливать то же самое количество молока, что и предыдущий, — скажем, $6x$‍‍ литров (каждому гному наливается по $x$‍‍ литров). Тогда после очередного переливания у разливавшего будет 0 литров молока, у его соседа (разливавшего перед ним) — $x$‍,‍ у следующего (у него до этого было $x$‍)‍ станет $2x$‍,‍ $\ldots$‍,‍ у последнего, седьмого, гнома — $6x$‍‍ литров. Из уравнения $x+2x+\ldots+6x=3$‍‍ найдём $x=\dfrac17$‍‍ и получим указанный выше ответ.

Нужно, однако, ещё выяснить, не может ли быть так, что гномы разливают разное количество молока (и исходное распределение восстанавливается лишь через семь переливаний). Пусть $k$‍‍-й гном разливает $6x_k$‍‍ литров молока (каждому по $x_k$‍‍ литров). Поскольку гномы равноправны, можно считать, что $x_1\ge x_k$‍‍ для всех $k=1$‍,‍ 2, $\ldots$‍,‍ 7. После семи переливаний у 1-го гнома, разлившего $6x_1$‍‍ литров молока, снова должно набраться $6x_1$‍‍ литров, поэтому $6x_1=x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7$‍.‍ Это возможно лишь тогда, когда $x_1=x_2=\ldots=x_7$‍.‍ Таким образом, мы приходим к уже разобранному случаю, когда все гномы разливают одинаковое количество молока. Значит, других ответов нет.

Заметим, что из общих теорем линейной алгебры, которые лежат в основе теории марковских цепей, следует не только единственность ответа в этой задаче, но и такой любопытный факт: как бы не были первоначально налиты 3 литра молока, его распределение будет стремиться (с ростом количества переливаний) к указанному в ответе распределению $\Big(0$‍,‍ $\dfrac17$‍,‍ $\dfrac27$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $\dfrac57$‍,‍ у разливающего — $\dfrac67$‍‍ литра$\Big)$‍.‍ Об этих теоремах мы постараемся рассказать в одном из следующих номеров.