Гутенмахер Виктор Львович / Авторы задач / Задачи // Архив журнала «Квант»

Условия задач‍‍

Задача М107
1. Дан выпуклый многоугольник $A_1A_2\ldots A_n$‍‍ (рис. 1). На стороне $A_1A_2$‍,‍ взяты точки $B_1$‍,‍ и $D_2$‍,‍ на стороне $A_2A_3$‍‍ — точки $B_2$‍‍ и $D_3$‍,‍ $\ldots$‍,‍ на стороне…
Задача М198
Дан параллелограмм $ABCD$‍.‍ На прямых $AB$‍‍ и $BC$‍‍ выбраны точки соответственно $H$‍‍ и $K$‍‍ так, что треугольники $KAB$‍‍ и $HCB$‍‍ равнобедренные ($KA=AB$‍‍ и $HC=CB$‍).‍ Докажите, что…
Задача М454
За круглым столом сидят 7 гномов. Перед каждым стоит кружка. В некоторые из этих кружек налито молоко. Один из гномов разливает всё своё молоко в кружки остальных поровну. Затем его сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и т. д. После того, как…
Задача М497
На сторонах $BC$‍,‍ $CA$‍‍ и $AB$‍‍ остроугольного треугольника $ABC$‍‍ взяты произвольные точки $A_1$‍,‍ $B_1$‍,‍ $C_1$‍;‍ на отрезках $AA_1$‍,‍ $BB_1$‍‍ и $CC_1$‍‍ как на диаметрах…
Задача М516
Три автомата печатают на карточках пары натуральных чисел. Автоматы работают следующим образом. Первый автомат, прочитав карточку $(a; b)$‍,‍ выдаёт новую карточку $(a+1; b+1)$‍;‍ второй, прочитав карточку $(a; b)$‍,‍ выдаёт карточку $\left(\dfrac a2; \dfrac b2\right)$‍‍ (он работает только, когда…
Задача М578
Найти $x$‍‍ и $y$‍‍ из системы уравнений $$ \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x-y\sqrt{x^2-y^2}}{\sqrt{1-x^2+y^2}}=a,\\ \dfrac{y-x\sqrt{x^2-y^2}}{\sqrt{1-x^2+y^2}}=b \end{array}\right. $$ ($a$‍‍ и $b$‍‍ — данные числа).
Задача М653
Имеется линейка с двумя делениями (рис. 1). С помощью линейки можно проводить произвольные прямые и откладывать отрезки определённой длины. Постройте с её помощью
1. какой-нибудь прямой угол;
2. прямую,…

Решения задач‍‍

Задача М3
На рисунке 1 плоскость покрыта квадратами пяти цветов. Центры квадратов одного и того же цвета расположены в вершинах квадратной сетки. При каком числе цветов возможно аналогичное заполнение плоскости?

На рисунке 2 плоскость покрыта шестиугольниками семи цветов так, что…
Задача М4
Дан отрезок $AB$‍.‍ Найти на плоскости множество точек $C$‍‍ таких, что в треугольнике $ABC$‍‍ медиана, проведённая из вершины $A$‍,‍ равна высоте, проведённой из вершины $B$‍.‍
Задача М5
В множестве $E$‍,‍ состоящем из $n$‍‍ элементов, выделены $m$‍‍ различных подмножеств (отличных от самого $E$‍)‍ так, что для каждых двух элементов $E$‍‍ найдётся ровно одно из данных подмножеств, в которое входят оба эти…
Задача М106
Докажите, что если для чисел $p_1$‍,‍ $p_2$‍,‍ $q_1$‍,‍ $q_2$‍‍ выполнено неравенство $$ (q_1-q_2)^2+(p_1-p_2)(p_1q_2-p_2q_1)\lt0, $$ то квадратные трёхчлены $$ x^2+p_1x+q_1\quad\text{и}\quad x^2+p_2x+q_2 $$ имеют вещественные корни и между двумя корнями каждого из них лежит корень другого.
Задача М152
Пусть $a$‍,‍ $b$‍,‍ $m$‍,‍ $n$‍‍ — натуральные числа, причём $a$‍‍ взаимно просто с $b$‍‍ и $a\ge1$‍.‍ Доказать, что если $a^m + b^m$‍‍ делится на $a^n + b^n$‍,‍ то $m$‍‍ делится на…
Задача М218
Доказать, что если $x_1$‍,‍ $x_2$‍,‍ $x_3$‍,‍ $x_4$‍,‍ $x_5$‍‍ — положительные числа, то $$ (x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5)^2 \ge 4(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4 + x_4x_5 + x_5x_1). $$
Задача М251
Дано $n$‍‍ фишек нескольких цветов, причём фишек каждого цвета не более $\dfrac n2$‍.‍ Докажите, что их можно расставить на окружности так, чтобы никакие две фишки одинакового цвета не стояли рядом.
Задача М586
В треугольнике $ABC$‍,‍ у которого $\widehat B=60^\circ$‍,‍ провели биссектрисы $AD$‍‍ и $CE$‍,‍ пересекающиеся в точке $O$‍.‍ Докажите, что $|OD|=|OE|$‍.‍
Задача М651
Дама сдавала в багаж диван, чемодан, саквояж, корзину, картину, картонку и маленькую собачонку. Диван весил столько же, сколько чемодан и саквояж, вместе взятые, и столько же, сколько картина, корзина и картонка, вместе взятые. Картина, корзина и картонка весили поровну и каждая из них — больше,…
Задача М867
На уроке танцев 17 мальчиков и 17 девочек построили двумя параллельными рядами так, что образовалось 17 пар. При этом в каждой паре рост мальчика отличается от роста девочки не более чем на десять сантиметров. Докажите, что если в каждом ряду перестроить мальчиков и девочек по росту, то…
Задача М868
Из вершин основания тетраэдра в боковых гранях проведены высоты. Докажите, что три прямые, соединяющие основания высот в каждой грани, параллельны одной плоскости. (Плоские углы при вершине — не прямые.)
Задача М901
Биссектрисы $AK$‍‍ и $BM$‍‍ треугольника $ABC$‍‍ пересекаются в точке $O$‍.‍ Докажите, что если $OK=OM$‍,‍ то либо углы $A$‍‍ и $B$‍‍ треугольника равны, либо угол $C$‍‍ равен $60^\circ$‍.‍
Задача М921
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$‍‍ известны величины двух углов $\angle A=\alpha$‍‍ и $\angle B=\beta$‍,‍ а его удвоенная площадь равна ${AB}\cdot{CD}+{BC}\cdot{AD}$‍.‍ Найдите отношение длин всех его сторон $AB:BC:CD:DA$‍,‍ если
1. $\alpha=\dfrac{5\pi}{12}$‍,‍…
Задача М1116
Какое наибольшее число узлов клетчатой бумаги может содержать прямоугольник площадью:
1. 36;
2. $S$‍,‍
стороны которого идут по линиям сетки?

(Считаются узлы, лежащие внутри и на границе прямоугольника.…

Виктор Львович Гутенмахер‍21

Условия задач‍‍

Решения задач‍‍