Перепишем сумму $a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{p-1}$ так:
$$
(a_1+a_{p-1})+(a_2+a_{p-2})+\ldots+(a_{\frac{\scriptstyle p-1}{\scriptstyle 2}}+a_{\frac{\scriptstyle p+1}{\scriptstyle2}})
$$
($p-1$ — чётное число; в последней сумме $\dfrac{p-1}2$ выражений в скобках). Рассмотрим одно из выражений $a_i+a_{p-i}$, зaключённых в скобки. Легко заметить, что $$
i^p+(p-i)^p=p^p-C_p^1\cdot i\cdot p^{p-1}+\ldots+C_p^{p-1}\cdot i^{p-1}\cdot p=p^2l
$$
— делится на $p^2$ (поскольку $C_p^{p-1}=p$; $p\gt2$, $1\le i\le p-1$). Поэтому $a_i+a_{p-i}$ делится на $p^2$; и так как $a_i\lt p^2$, $a_{p-i}\lt p^2$, то $a_i+a_{p-i}=p^2$ для всех $i=1$, $\ldots$, $p-1$. Итак,
$$
a_1+a_2+\ldots+a_{p-1}=(a_1+a_{p-1})+\ldots+(a_{\frac{\scriptstyle p-1}{\scriptstyle2}}+a_{\frac{\scriptstyle p+1}{\scriptstyle2}})=p^2\cdot\dfrac{p-1}2=\dfrac{p^3-p^2}2,
$$
что и утверждалось.
