«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
На плоскости заданы $2n$ точек — $n$ синих и $n$ красных, причём никакие три точки не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести $n$ отрезков так, что у каждого отрезка один конец лежит в красной точке, другой — в синей точке, и…
Дан треугольник $ABC$. Найти на стороне $AC$ такую точку $D$, чтобы периметр треугольника $ABD$ равнялся длине стороны $BC$.
При каких натуральных $m$ и $n$ ($m\lt n$) можно закрасить некоторые клетки бесконечного листа клетчатой бумаги в чёрный цвет так, чтобы любой прямоугольник размера $m\times n$ содержал ровно одну чёрную клетку? Начните с более простой задачи:…
Дано простое число $p \gt 2$. Для каждого $k$ от $1$ до $p-1$ обозначим через $a_k$ остаток от деления числа $k^p$ на $p^2$. Докажите, что $$ a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{p-1}=\dfrac{p^3-p^2}2. $$
В стране $N$ городов.