Задача М439‍‍‍

Начнём с задачи б) (задача а) следует из б)). Заметим что если уравнение $$ a_1x^{k_1}+a_2x^{k_2}+\ldots+a_nx^{k_n}=1,\tag1 $$ где $k_1$‍,‍ $k_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $k_n$‍‍ — любые действительные (а не обязательно натуральные) числа, имеет более $n$‍‍ положительных корней, то уравнение $$ \overline{a_1}x^{k_1-1}+\overline{a_2}x^{k_2-1}+\ldots+\overline{a_n}x^{k_n-1}=0,\tag{1′} $$ полученное из (1) дифференцированием обеих частей, имеет более $n-1$‍‍ положительных корней (см. рис. 5). Поделив обе части уравнения (1′) на $(-\overline{a_n}x^{k_n-1})$‍,‍ получим уравнение $$ b_1x^{k_1-k_n}+b_2x^{k_2-k_n}+\ldots+b_{n-1}x^{k_{n-1}-k_n}=1\tag2 $$ (имеющее более $n-1$‍‍ положительных корней). Продифференцировав обе части уравнения (2), получим уравнение $$ \overline{b_1}x^{k_1-k_n-1}+\overline{b_2}x^{k_2-k_n-1}+\ldots+\overline{b_{n-1}}x^{k_{n-1}-k_n-1}=0,\tag{2′} $$ имеющее более $n-2$‍‍ положительных корней. Поделив обе части (2′) на $(-\overline{b_{n-1}}x^{k_{n-1}-k_n-1})$‍,‍ получим уравнение $$ c_1x^{k_1-k_{n-1}}+c_2x^{k_2-k_{n-1}}+\ldots+c_{n-2}x^{k_{n-2}-k_{n-1}}=1,\tag3 $$ имеющее более $n-2$‍‍ положительных корней.

Проделав указанные действия $n-1$‍‍ раз, мы придём к уравнению $$ \alpha x^m=1\quad (m=k_1-k_2), $$ которое, в силу сделанного предположения относительно уравнения (1), должно иметь более одного положительного корня. Но это невозможно; значит, исходное уравнение (1) не может иметь более $n$‍‍ положительных корней. Утверждение задачи б) доказано.

Перейдём к задаче в). Нам понадобится следующий факт. Пусть $P_m(x)$‍‍ — многочлен от $x$‍‍ степени $m$‍.‍ Тогда производная выражения $x^k(x+1)^p\,P_m(x)$‍‍ имеет вид $x^{k-1}(x+1)^{p-1}\,P_{m+1}(x)$‍,‍ где $P_{m+1}(x)$‍‍ — многочлен от $x$‍‍ степени $m+1$‍‍ ($k$‍‍ и $p$‍‍ — любые действительные числа). Действительно, $$ \begin{gather*} (x^k(x+1)^p\,P_m(x))'=kx^{k-1}(x+1)^p\,P_m(x)+px^k(x+1)^{p-1}\,P_m(x)+x^k(x+1)^p\,P'_m(x)=\\ =x^{k-1}(x+1)^{p-1}[k(x+1)\,P_m(x)+px\,P_m(x)+x(x+1)\,P'_m(x)]=x^{k-1}(x+1)^{p-1}\,P_{m+1}(x), \end{gather*} $$ где $P_{m+1}(x)$‍‍ — многочлен степени $m+1$‍,‍ записанный в квадратных скобках (напомним, что степень многочлена $P'_m(x)$‍‍ равна $m-1$‍).‍

Предположим теперь, что уравнение $$ ax^k(x+1)^p+bx^l(x+1)^q+cx^m(x+1)^r=1\tag4 $$ имеет более 14 положительных корней. Тогда, так же как и в задаче б), уравнение, полученное из него дифференцированием обеих частей, имеет более 13 положительных корней. Это уравнение будет такого вида (см. доказанное выше правило дифференцирования): $$ x^{k-1}(x+1)^{p-1}\,A_1(x)+x^{l-1}(x+1)^{q-1}\,B_1(x)+x^{m-1}(x+1)^{r-1}\,C_1(x)=0\tag{4′} $$ (числа $k$‍,‍ $p$‍,‍ $l$‍,‍ $q$‍,‍ $m$‍,‍ $r$‍‍ — могут быть любыми действительными; $A_1(x)$‍,‍ $B_1(x)$‍,‍ $C_1(x)$‍‍ — многочлены первой степени).

Поделив обе части уравнения (4′) на $x^{m-1}(x+1)^{r-1}$‍‍ (это — «законная» операция: нас интересуеют только положительные корни!), мы получим уравнение $$ x^{k-m}(x+1)^{p-r}\,A_1(x)+x^{l-m}(x+1)^{q-r}\,B_1(x)+C_1(x)=0,\tag{4′′} $$ имеющее более 13 положительных корней. Продифференцировав обе части уравнения (4′′) два раза, получим уравнение $$ x^{k-m-2}(x+1)^{p-r-2}\,A_3(x)+x^{l-m-2}(x+1)^{q-r-2}\,B_3(x)=0,\tag5 $$ имеющее более 11 положительных корней (продумайте это!). Поделив обе части уравнения (5) на $x^{l-m-2}(x+1)^{q-r-2}$‍,‍ получим уравнение $$ x^{k-l}(x+1)^{p-q}\,A_3(x)+B_3(x)=0,\tag{5′} $$ по-прежнему имеющее более 11 положительных корней. Продифференцировав обе части (5′) четыре раза, получим уравнение $$ x^{k-l-4}(x+1)^{p-q-4}\,A_7(x)=0,\tag6 $$ имеющее более 7 положительных корней, что невозможно, поскольку все положительные корни могут быть только среди корней уравнения $A_7(x)=0$‍,‍ а это уравнение имеет не более семи корней ($A_7(x)$‍‍ — многочлен седьмой степени!). Полученное противоречие доказывает утверждение задачи в).