«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Имеется натуральное число $n \gt 1000$. Возьмём остатки от деления числа $2^n$ на числа 1, 2, 3, ..., $n$ и найдём сумму всех этих остатков. Доказать, что эта сумма больше $2n$.
Около сферы радиуса 10 описан некоторый 19-гранник. Докажите, что на его поверхности найдутся две точки, расстояние между которыми больше 21.
На клетчатой бумаге нарисован выпуклый многоугольник с вершинами в узлах (в углах клеток). Выберем какую-нибудь вершину $O$ многоугольника $F$ и обозначим через $nF$ многоугольник, полученный из $F$ растяжением в…
Кенгуру прыгает по углу $x\ge0$, $y\ge0$ координатной плоскости $Oxy$ следующим образом: из точки $(x;y)$ кенгуру может прыгнуть в точку $(x+1;y-1)$ или в точку $(x-5;y+7)$, причём прыгать в точки, у которых одна из координат…
В копилке собрано четыре рубля мелкими монетами. Докажите, что этими монетами можно заплатить три рубля без сдачи.
Докажите, что существует такая бесконечная ограниченная последовательность $\{x_n\}$, что для любых различных $m$ и $k$ выполнено неравенство $$ |x_m-x_k|\ge|m-k|^{-1}. $$