Кушниренко А. Г. / Авторы задач / Задачи // Архив журнала «Квант»

: Ученик В. И. Арнольда. Заведующий отделом учебной информатики НИИСИ РАН, автор многих учебных пособий по информатике, разработчик обучающей системы программирования КуМир.
См. также: Math-Net.Ru‍, MathEdu.Ru‍

Задачи по математике‍‍

Задача М33
Имеется натуральное число $n \gt 1000$‍.‍ Возьмём остатки от деления числа $2^n$‍‍ на числа 1, 2, 3, ..., $n$‍‍ и найдём сумму всех этих остатков. Доказать, что эта сумма больше $2n$‍.‍
Задача М35
Около сферы радиуса 10 описан некоторый 19-гранник. Докажите, что на его поверхности найдутся две точки, расстояние между которыми больше 21.
Задача М75
а) Доказать, что в любом выпуклом многограннике сумма длин всех ребер больше утроенного диаметра. (Диаметром многогранника называется наибольшая из длин всевозможных отрезков с концами в вершинах многогранника.)

б) Доказать, что для любых двух вершин $A$‍‍ и…
Задача М385
Текст задачи готовится
Задача М439
1. Докажите, что уравнение $$ ax^k+bx^l+cx^m=1 $$ (где $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ — действительные, $k$‍,‍ $l$‍‍ и $m$‍‍ — натуральные числа) имеет не более трёх положительных корней.
2. Докажите,…
Задача М514
Докажите, что существует такая бесконечная ограниченная последовательность $\{x_n\}$‍,‍ что для любых различных $m$‍‍ и $k$‍‍ выполнено неравенство $$ |x_m-x_k|\ge|m-k|^{-1}. $$
Задача М572
Кенгуру прыгает по углу $x\ge0$‍,‍ $y\ge0$‍‍ координатной плоскости $Oxy$‍‍ следующим образом: из точки $(x;y)$‍‍ кенгуру может прыгнуть в точку $(x+1;y-1)$‍‍ или в точку $(x-5;y+7)$‍,‍ причём прыгать в точки, у которых одна из координат…
Задача М662
В копилке собрано четыре рубля мелкими монетами. Докажите, что этими монетами можно заплатить три рубля без сдачи.

Кушниренко А. Г.‍8

Задачи по математике‍‍