Задача М432‍‍‍

Решим сразу пункт в) задачи. Прежде всего заметим, что сумма цифр квадрата не может быть произвольной. Действительно, квадрат числа либо делится на 9, либо даёт при делении на 9 остатки 1, 4, 7. По признаку деления на 9 то же верно и для суммы цифр квадрата, так что у квадрата сумма цифр может быть либо числом вида $9k$‍.‍ либо $9k+1$‍,‍ либо $9k+4$‍,‍ либо $9k+7$‍.‍ Покажем, что все такие числа действительно могут быть суммами.

В самом деле, число $9k$‍‍ — сумма цифр квадрата числа $10^k-1$‍:‍ $$ (10^k-1)^2=(10^k-2)10^k+1=\underbrace{99\ldots98}_{k}\,\underbrace{00\ldots01}_{k}; $$ число $9k+1$‍‍ ($k \ne 0$‍)‍ — сумма цифр квадрата числа $10^k-2$‍:‍ $$ (10^k-2)^2=(10^k-4)10^k+4=\underbrace{99\ldots96}_{k}\,\underbrace{00\ldots04}_{k} $$ (случай $k=0$‍‍ очевиден: $1=1^2$‍);‍ число $9k+4$‍‍ ($k \ne 0$‍)‍ — сумма цифр квадрата числа $10^k-3$‍:‍ $$ (10^k-3)^2=(10^k-6)10^k+9=\underbrace{99\ldots94}_{k}\,\underbrace{00\ldots09}_{k} $$ (при $k=0$‍‍ получаем число 4, а $4=2^2$‍).‍ Число $9k+7$‍‍ — сумма цифр квадрата числа $10^{k+1}-5$‍:‍ $$ (10^{k+1}-5)^2=(10^{k+1}-10)10^{k+1}+25=\underbrace{99\ldots90}_{k+1}\,\underbrace{00\ldots025}_{k+1}. $$

Таким образом, число 1978 может быть суммой цифр квадрата, а 1977 — нет.