В лесу растут деревья цилиндрической формы. Связисту нужно протянуть по лесу провод из точки $A$ в точку $B$, расстояние между которыми равно $l$. Докажите, что для этой цели связисту достаточно иметь кусок провода длиной $1{,}6l$.
Соединим точки $A$ и $B$ прямой. На участках, где нет деревьев, проведём провод по этой прямой. Там же, где прямая $AB$ пересекает контур ствола, пустим провод по меньшей из двух дуг окружности, ограничивающей сечение ствола плоскостью, перпендикулярной к стволу (см. рис. 1). Покажем, что в этом случае длина провода не превосходит $\dfrac{\pi l}2$.
Рис. 1
Пусть $a_1$, $\ldots$, $a_n$ — длины прямолинейных участков провода, a $b_1$, $\ldots$, $b_k$ — длины участков прямой $AB$, находящихся внутри стволов. Поскольку каждое $b_i$ ($i=1$, $\ldots$, $k$) не превосходит диаметра соответствующей окружности, суммарная длина криволинейных участков провода не превосходит $\dfrac{\pi b_1}2+\ldots+\dfrac{\pi b_k}2$, а общая длина провода не превосходит
$$
a_1+\ldots+a_n+\dfrac{\pi b_1}2+\ldots+\dfrac{\pi b_k}2 \lt \dfrac{\pi}2(a_1+\ldots+a_n+b_1+ \ldots+b_k)=\dfrac{\pi l}2 \lt 1{,}6l.
$$
Величину $\dfrac{\pi l}2$ нельзя заменить в этом неравенстве меньшей, так как легко указать пример, когда потребуется провод длины ровно $\dfrac{\pi l}2$: в лесу растёт единственное дерево диаметра $l$, а точки $A$ и $B$ — диаметрально противоположные точки окружности его ствола.
