Задача М418‍‍

Докажите, что для любого натурального $n$‍‍ выполняются неравенства: $$ n{\left(\!\sqrt[\scriptstyle n~]{n+1}-1\right)}\le 1+\dfrac12+\dfrac13+\ldots+\dfrac1n\le 1+n{\left(1-\dfrac1{\!\sqrt[\scriptstyle n~]n}\right)}. $$