Задача М385‍‍

На клетчатой бумаге нарисован выпуклый многоугольник с вершинами в узлах (в углах клеток). Выберем какую-нибудь вершину $O$‍‍ многоугольника $F$‍‍ и обозначим через $nF$‍‍ многоугольник, полученный из $F$‍‍ растяжением в $n$‍‍ раз относительно этой вершины (рис. 1) ($n$‍‍ — натуральное число). Будем обозначать через $N(nF)$‍‍ число узлов, которые лежат внутри и на границе $nF$‍,‍ и через $N(\overline{nF})$‍‍ будем обозначать число узлов, которые лежат на границе $nF$‍.‍ Через $S(F)$‍‍ обозначим площадь $F$‍‍ (площадь одной клетки равна 1). Докажите, что

1. $N(nF)$‍‍ является многочленом от $n$‍;‍
2. $2S(F)=N(2F)-2N(F)+1$‍;‍
3. $S(F)=N(F)-\dfrac12N(\overline F)+1$‍;‍
4. для любых двух выпуклых многоугольников $F$‍‍ и $G$‍‍ с вершинами в узлах $N(nF+mG)$‍‍ является многочленом от $n$‍‍ и $m$‍‍‍.

В трёхмерном пространстве задан выпуклый многогранник $F$‍,‍ все вершины которого являются целыми точками (точка называется целой, если все три её координаты являются целыми числами). Предположим, что начало координат $O$‍‍ является вершиной $F$‍,‍ и обозначим через $nF$‍‍ многогранник, полученный из $F$‍‍ растяжением в $n$‍‍ раз относительно начала координат (каждая точка $nF$‍‍ получается из некоторой точки $F$‍‍ умножением всех координат на $n$‍,‍ где $n$‍‍ — натуральное число). Будем обозначать через $N(nF)$‍‍ число целых точек в многограннике $nF$‍‍ и на его границе, а через $N(\overline{nF})$‍‍ будем обозначать число целых точек на границе $nF$‍.‍ Через $V(F)$‍‍ обозначим объём многогранника.

5. Докажите, что не существует формулы, которая была бы верна для любого описанного выше многогранника $F$‍‍ и выражала бы $V(F)$‍‍ через $N(F)$‍‍ и $N(\overline F)$‍.‍
6. Придумайте формулу, которая (для некоторого $k$‍)‍ выражает $V(F)$‍‍ через $N(F)$‍,‍ $N(2F)$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $N(kF)$‍.‍
8. Придумайте формулу, которая выражает $V(F)$‍‍ через $N(F)$‍,‍ $N(2F)$‍,‍ $N(\overline F)$‍,‍ $N(\overline{2F})$‍.‍
9. Докажите формулы, полученные при peшении е) и ж).
10. Докажите, что $N(nF)$‍‍ является многочленом от $n$‍.‍