Доказательство будем вести по индукции.
База индукции. $n=1$, т. е. в выпуклом многограннике объёма 1 отмечено три точки. Проведя через две из этих точек плоскость, разбивающую наш многогранник на два равных по объёму многогранника, мы получим, что в одном из них $\bigg($объёма $\dfrac12\bigg)$ не окажется ни одной отмеченной точки.
Шаг индукции. Допустим теперь, что для всех $n\le k$ утверждение задачи доказано, и докажем его для $n=k+1$ (но вначале заметим, что если утверждение задачи справедливо для многогранника с $N$ отмеченными точками, то оно тем более справедливо и для многогранника с меньшим числом отмеченных точек). Итак, сейчас у нас внутри многогранника объёма $1$ отмечено $3(2^{k+1}-1)=6\cdot2^k-3$ точек. Проведём через две из них плоскость, разбивающую наш многогранник на два равновеликих многогранника. Поскольку теперь у нас осталось $6\cdot2^k-3-2=6\cdot2^k-5$ «внутренних» отмеченных точек, в одном из этих многогранников $\bigg($объёма $\dfrac12\bigg)$ окажется не более чем $3\cdot2^k-3=3(2^k-1)$ точек. По предположению индукции, из такого многогранника мы можем вырезать многогранник объёма $\dfrac12\cdot\left(\dfrac12\right)^k=\left(\dfrac12\right)^{k+1}$, не содержащий отмеченных точек, что и доказывает утверждение задачи.
Внимание! Тот факт, что через две точки, взятые внутри выпуклого многогранника, можно провести плоскость, делящую многогранник на два равновеликих, не так‑то уж и очевиден. Подумайте, в чём тут дело, и попробуйте строго обосновать его.
