Задача М352‍‍‍

Заметим предварительно, что $$ 45-\sqrt{1975} =\dfrac{45^2-1975}{45+\sqrt{1975}} =\dfrac{2025-1975}{45+\sqrt{1975}} \lt\dfrac{50}{45+44} =\dfrac{50}{89}\lt1. $$ Сложим два числа: $$ \alpha=(45+\sqrt{1975})^{30} =45^{30}+C_{30}^1\,45^{29}\sqrt{1975} +C_{30}^2\,45^{28}(\sqrt{1975})^2+\ldots +C_{30}^{29}\,45(\sqrt{1975})^{29}+(\sqrt{1975})^{30} $$ и $$ \beta=(45-\sqrt{1975})^{30} =45^{30}-C_{30}^1\,45^{29}\sqrt{1975} +C_{30}^2\,45^{28}(\sqrt{1975})^2-\ldots -C_{30}^{29}\,45(\sqrt{1975})^{29}+(\sqrt{1975})^{30}. $$

Ясно, что число $\alpha+\beta$‍‍ целое и чётное, а $\beta\lt1$‍.‍ Поэтому $n\lt\alpha\lt n+1=\alpha+\beta$‍,‍ где $n$‍‍ нечётно. Точно так же можно доказать, что для натуральных $a$‍,‍ $b$‍,‍ $n$‍‍ и $m$‍,‍ где $a-1\lt\sqrt b\lt a$‍,‍ $n\lt(a+\sqrt b)^m\lt n+1$‍,‍ число $n$‍‍ нечётно.