Условие задачи (1975, № 8) Задача М340 // Квант. — 1975. — № 8. — Стр. 50; 1976. — № 5. — Стр. 50—52.
В каждую клетку прямоугольной таблицы записано вещественное число. Некоторая клетка таблицы называется её седловой клеткой, если стоящее в ней число не меньше остальных чисел в своём столбце и не больше остальных чисел в своей строке.
- Пусть про таблицу
$T$ известно, что любая таблица$2\times 2$, получающаяся в пересечении двух строк и двух столбцов таблицы$T$, имеет седловую клетку. Докажите, что тогда таблица$T$ также имеет седловую клетку. - Пусть
$a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{m}$, $b_{1}$, $b_{2}$, $\ldots$, $b_{n}$ — произвольные числа,$p_{1}$, $p_{2}$, $\ldots$, $p_{m}$, $q_{1}$, $q_{2}$, $\ldots$, $q_{n}$ — положительные числа. Докажите, что таблица$m\times n$, на пересечении$i$ -й строки и$j$ -го столбца которой стоит число$\dfrac{a_{i}+b_{j}}{p_{i}+q_{j}}$, имеет седловую клетку.
Одно из решений задачи б) можно получить, используя а). Подумайте, однако, как можно решить эту задачу другим способом.
Изображения страниц
Решение задачи (1976, № 5) Задача М340 // Квант. — 1975. — № 8. — Стр. 50; 1976. — № 5. — Стр. 50—52.
Текстовое представление решения задачи находится в процессе подготовки. С графическим представлением можно ознакомиться в опубликованном номере