Предположим, что положительные числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ таковы, что $a_1+a_2+\ldots+a_n=1$ и $$\dfrac{a_1}{1+a_1}=\dfrac{a_2}{1+a_1+a_2}=\ldots=\dfrac{a_n}{1+a_1+a_2+\ldots+a_n}.$$
(Ниже мы увидим, что такой набор $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ действительно существует.) Покажем, что при $x_1=a_1$, $x_2=a_2$, $\ldots$, $x_n=a_n$ величина $S$ принимает наименьшее возможное значение. Пусть $b_1$, $b_2$, $\ldots$, $b_n$ — другой набор положительных чисел, сумма которых равна 1. Заметим, что если $x_k$ увеличить, а все предыдущие ($x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{k-1}$) не увеличивать, то величина
$$\dfrac{x_k}{1+x_1+x_2+\ldots+x_n}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x_k}+\dfrac{x_1}{x_k}+\ldots+\dfrac{x_{k-1}}{x_k}+1}=\dfrac{1}{\dfrac{1+x_1+\ldots+x_{k-1}}{x_k}+1}$$
увеличится.
Поэтому, если $b_1\gt a_1$ то $\dfrac{b_1}{1+b_1}\gt \dfrac{a_1}{1+a_1}$; если $b_1\le a_1$, $b_2\gt a_2$, то $\dfrac{b_2}{1+b_1+b_2}\gt \dfrac{a_2}{1+a_1+a_2}=\dfrac{a_1}{1+a_1}$; если $b_1\le a_1$, $b_2\le a_2$, $b_3\gt a_3$, то $\dfrac{b_3}{1+b_1+b_2+b_3}\gt \dfrac{a_2}{1+a_1+a_2+a_3}=\dfrac{a_1}{1+a_1}$ и т. д. Поскольку набор чисел $b_1$, $b_2$, $\ldots$, $b_n$ отличается от набора $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$, а сумма чисел в обоих наборах одна и та же, то $b_k\gt a_k$ для некоторого $k$. Пусть $k$ — наименьший индекс с таким свойством, т. е. $b_1\le a_1$, $b_2\le a_2$, $\ldots$, $b_{k-1}\le a_{k-1}$, $b_k\gt a_k$, тогда
$$\dfrac{b_k}{1+a_1+\ldots+a_k}\gt \dfrac{a_k}{1+a_1+\ldots+a_k}=\dfrac{a_1}{1+a_1}.$$
Таким образом, наибольшее из чисел
$\dfrac{b_1}{1+b_1}$, $\dfrac{b_2}{1+b_1+b_2}$, $\ldots$, $\dfrac{b_k}{1+b_1+\ldots+b_n}$ больше $\dfrac{a_1}{1+a_1}$ (наибольшего из чисел $\dfrac{a_1}{1+a_1}$, $\dfrac{a_2}{1+a_1+a_2}$, $\ldots$, $\dfrac{a_n}{1+a_1+a_2+\ldots+a_n}$).
Остаётся решить в положительных числах систему уравнений
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+\ldots+x_n=1,\\
\dfrac{x_1}{1+x_1}=\dfrac{x_2}{1+x_1+x_2}=\ldots=\dfrac{x_n}{1+x_1+x_2+\ldots+x_n}.
\end{array} \right.
$$
Уравнение $\dfrac{x_1}{1+x_1}=\dfrac{x_k}{1+x_1+\ldots+x_k}$ (для положительных $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_k$) преобразуется к виду $x_k=x_1(1+x_1+\ldots+x_{k-1})$, так что данная система эквивалентна системе
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_2=x_1(1+x_1),\\
x_3=x_1(1+x_1+x_2),\\
.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.\\
x_n=x_1(1+x_1+\ldots+x_{n-1}),\\
x_1+x_2+\ldots+x_n=1,
\end{array} \right.
$$
которая в свою очередь эквивалентна системе
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_2=x_1(1+x_1),\\
x_3=x_1(1+x_1)^2,\\
.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.\\
x_n=x_1(1+x_1)^{n-1},\\
x_1+x_2+\ldots+x_n=1,
\end{array} \right.
$$
т. е. числа $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $(1+x_1)$ и суммой $(1+x_1)^n-1$.
Теперь легко находится решение системы:
$$a_1=\!\sqrt[\scriptstyle n~]{2}-1,\quad
a_2=\!\sqrt[\scriptstyle n~]{2}(\!\sqrt[\scriptstyle n~]{2}-1),\quad
a_3=\!\sqrt[\scriptstyle n~]{2^2}(\!\sqrt[\scriptstyle n~]{2}-1),\quad
\ldots,\quad
a_n=\!\sqrt[\scriptstyle n~]{2^{n-1}}(\!\sqrt[\scriptstyle n~]{2}-1).$$
Искомое значение $S$ равно
$$\dfrac{\!\sqrt[\scriptstyle n~]{2}-1}{\!\sqrt[\scriptstyle n~]{2}}=1-\dfrac{1}{\!\sqrt[\scriptstyle n~]{2}}.$$
