«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Найдите все натуральные числа $x$ такие, что сумма $1+2+\ldots+x$ равна числу, полученному приписыванием к $x$ (в десятичной записи) слева цифры 1.
Текст задачи готовится
Все натуральные числа раскрашены в два цвета — чёрный и белый. Известно, что сумма чёрного и белого — чёрная, а произведение чёрного и белого — белое.
Докажите, что для любых натуральных $m$, $d$, $k$ найдётся натуральное $n$ такое, что $$ \left(\sqrt{m}+\sqrt{m+d}\right)^k=\sqrt{n}+\sqrt{n+d^k}. $$
Существуют ли
таких, что сумма любых трёх из них — простое число?