Пусть $ABCDEF$ — выпуклый шестиугольник, в котором $AB=BC=CD$, $DE=EF=FA$ и $\angle BCD=\angle EFA=60^\circ$. Пусть $G$ и $H$ — две точки внутри шестиугольника такие, что $$
\angle AGB=\angle DHE=120^\circ.\tag{*}
$$
Докажите, что $$
AG+GB+GH+DH+HE\ge CF.
$$
Докажите, что последнее неравенство будет выполнено, даже если не требовать условия (*).
Эта задача — несколько вычурное упражнение на тему «геометрические преобразования». Основная идея — постараться превратить «паука» из пяти звеньев $AG$, $BG$, $GH$, $DH$, $EH$ в ломаную, соединяющую $C$ и $F$.
Из условия задачи следует, что треугольники $BCD$ и $EFA$ — равносторонние. Поэтому четырёхугольник $ABDE$ симметричен относительно прямой $BE$ (ведь $AB=BD$, $DE=EA$). Отразим относительно $BE$ всего пятизвенного «паука»; пусть при этой симметрии $H$ перешло в $H'$, $G$ — в $G'$ (рис. 1). Теперь мы должны оценить снизу сумму длин
$$
p=DG'+G'B+G'H'+AH'+H'E.
$$
Достаточно доказать неравенства
$$
DG'+G'B\ge G'C,\quad AH'+H'E\ge H'F.\tag1
$$
Рис. 1
Из них, конечно, сразу следует нужное $p\ge CF$. Оказывается, неравенства (1) превращаются в равенства как раз при условиях $\angle DG'B=120^\circ$, $\angle AH'E=120^\circ$, соответствующих условиям пункта а). Этот факт вместе с неравенствами (1) вытекает из следующей леммы.
Лемма.Пусть $KLN$ — правильный треугольник, $M$ — любая точка плоскости. Тогда
$$
MN\le MK+ML,\tag2
$$
причём $MN=MK+ML$ в том и только том случае, если $M$ лежит на дуге описанной окружности, где $\angle KML=120^\circ$.
Рис. 2
Доказательство (рис. 2). Повернём $\triangle KML$ вокруг точки $K$ на $60^\circ$ так, чтобы $L$ совпала с $N$. Пусть при этом повороте точка $M$ переходит в $M'$. Треугольник $KMM'$ правильный, поэтому $MM'+M'N=MK+ML$. Точка $M'$ лежит на отрезке $MN$ в том и только том случае, если $\angle KM'N=\angle KML=120^\circ$ и $M$ лежит вне $\triangle KNL$.
Замечание. Из решения ясно, что существует единственный «паук», для которого достигается равенство: за $H'$ и $G'$ надо взять точки пересечения $CF$ с описанными окружностями треугольников $AEF$ и $BCD$.
