Задача М1349‍‍‍

Всегда найдётся сектор, содержащий больше одной фишки, следовательно, процесс преобразований никогда не закончится.

Докажем более сильное утверждение, а именно, что на некотором шагу не найдётся пары соседних свободных секторов (из этого утверждения сразу следует, что занятых секторов не меньше половины); заметим, что если пара свободна, то она и на предыдущем шагу была свободна — следовательно, свободные пары не могут появиться.

Допустим противное, пусть при каждом $n$‍‍ в результате $n$‍‍-го шага имеется пара (хотя бы одна) соседних свободных секторов, тем самым, одна из соседних свободных пар никогда не исчезает.

Разорвём окружность по радиусу, разделяющему секторы этой пары, и рассмотрим задачу для прямой — пусть роль секторов играют отрезки длины 1, расположенные на оси, а фишки будем располагать в центре отрезков. Рассмотрим сумму расстояний между всеми фишками. При каждом преобразовании она увеличивается по крайней мере на 2. Действительно, пусть перемещаются две фишки — $\textit А$‍‍ и $\textit Б$‍,‍ $\textit А$‍‍ — влево, $\textit Б$‍‍ — вправо. Расстояния от $\textit А$‍‍ до всех фишек, стоящих слева от неё, уменьшаются, а расстояния от $\textit Б$‍‍ до тех же фишек увеличиваются на ту же величину. Расстояния от $\textit А$‍‍ и $\textit Б$‍‍ до тех фишек, которые остались в секторе, где находились $\textit А$‍‍ и $\textit Б$‍‍ до преобразования, увеличиваются (или не изменяются, если там ничего не осталось). А расстояние между $\textit А$‍‍ и $\textit Б$‍‍ увеличивается на 2. Так как шагов бесконечно много, то сумма расстояний будет увеличиваться до бесконечности, но она не может быть больше, чем длина всего отрезка, на котором расположились бывшие сектора, умноженная на число пар фишек. Полученное противоречие показывает, что пары свободных секторов должны исчезнуть.