Задача М121‍‍

Докажите, что для любых $n$‍‍ вещественных чисел $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ ..., $a_n$‍‍ найдётся такое натуральное $k \leq n$‍,‍ что каждое из $k$‍‍ чисел $a_k$‍,‍ $\dfrac{a_{k-1}+a_k}{2}$‍,‍ $\dfrac{a_{k-2} + a_{k-1}+a_k}{3}$‍,‍ ..., $\dfrac{a_1 + a_2+\ldots +a_k}{k}$‍‍ не превосходит $\dfrac{a_1 + a_2+\ldots +a_n}{n}$‍.‍