Задача М1189‍‍‍

Приведём самое короткое решение задачи. Оно опирается на такой факт: каждую из частей, на которые данные прямые делят плоскость, можно покрасить чёрной или белой краской так, чтобы области, имеющие общий участок грани, имели разный цвет. (Эту раскраску можно получить «по индукции»: при добавлении прямой в одной из ограниченных ею полуплоскостей все цвета заменяются противоположными.)

Каждая точка пересечения прямых служит вершиной четырёх углов — двух белых и двух чёрных. Напишем в них числа $+1$‍‍ (в белых) и $-1$‍‍ (в чёрных). Очевидно, сумма этих чисел в каждой полуплоскости, ограниченной любой из данных прямых, равна 0.

Теперь для каждой области просуммируем числа, которые написаны в углах, — это будут нужные целые числа, отличные от нуля: поскольку у каждой выпуклой области не больше чем $n$‍‍ сторон, то у неё не больше чем $n$‍‍ углов.

Тем самым мы доказали такую теорему: если в каждой области, на которые $n$‍‍ прямых делят плоскость, написано целое число, равное по модулю числу её углов, причём знаки чисел в соседних (по отрезку или лучу) областях различны, то по каждую сторону от любой из $n$‍‍ прямых сумма этих чисел равна 0.