Обозначим через $PQ$ и $EF$ средние линии четырёхугольника $ABCD$, как показано на рисунке 1; тогда его площадь $S$ вдвое больше площади $PEQF$ (общая площадь синих треугольников равна
$$
\dfrac S2:S_{PAE}+S_{QCE}=\dfrac{S_{BAD}}4+\dfrac{S_{BCD}}4=\dfrac S4=S_{PBF}+S_{QDE}).
$$
Таким образом,
$$
S=2S_{PEQF}=PQ\cdot EF\cdot\sin\alpha,\tag{1}
$$
где $\alpha$ — угол между прямыми $PQ$ и $EF$.
Рисунок номер 1
С другой стороны,
$$
\dfrac14(MN^2-KL^2)=\dfrac14(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{KL})\cdot(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{KL})=\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{v},\tag{2}
$$
где $\overrightarrow{v}=\dfrac{\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{LN}}2$, поскольку
$$
\begin{gather*}
\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{KL}=(\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QN})
+(\overrightarrow{KP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QL})=2\overrightarrow{PQ},\tag{3}\\
(\overrightarrow{KP}=-\overrightarrow{MP},\quad\overrightarrow{QL}=-\overrightarrow{QN}),
\end{gather*}
$$
а $$
\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{KL}=(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KN})-(\overrightarrow{KN}+\overrightarrow{NL})
=\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{LN}.
$$
Докажем, что правые части формул (1) и (2) равны. Векторы $\overrightarrow{MK}$ и $\overrightarrow{LN}$ получаются из $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$ соответственно поворотом на $\dfrac{\pi}2$ в одном и том же направлении (на рисунке 2 — против часовой стрелки). Поэтому их полусумма $\overrightarrow{v}$ получается тем же поворотом из $\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}}2$. Но полусумма векторов, соединяющих концы двух отрезков, равна вектору, соединяющему середины этих отрезков, — мы уже доказали это для отрезков $MK$ и $NL$ (см. (3)), т. е. $\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}}2=\overrightarrow{EF}$. Итак, вектор $\overrightarrow{v}$ равен вектору $\overrightarrow{EF}$, повёрнутому на $\dfrac{\pi}2$. Следовательно, угол между векторами $\overrightarrow{PQ}$ и $\overrightarrow{v}$ равен $\dfrac{\pi}2\pm\alpha$ (напомним, что $\alpha$ — это угол между прямыми $PQ$ и $EF$). Но по условию угол $KPQ$, т. е. угол между векторами $\overrightarrow{PQ}$ и $\overrightarrow{MK}$, и угол $PQL$ — между $\overrightarrow{PQ}$ и $\overrightarrow{LN}$ — острые, поэтому $\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{v}=\dfrac{\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{LN}}2\gt0$, а значит, угол между $\overrightarrow{PQ}$ и $\overrightarrow{v}$ острый и равен $\dfrac{\pi}2-\alpha$. Теперь мы получаем, что $\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{v}=PQ\cdot|\overrightarrow{v}|\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}2-\alpha\right)=PQ\cdot EF\cdot\sin\alpha=S$, что и требовалось.
Рисунок номер 2
Попутно предлагаем доказать, что сумма $MN^2+KL^2$ равна сумме квадратов диагоналей $AC^2+BD^2$ данного четырёхугольника или удвоенной сумме квадратов средних линий $2(PQ^2+EF^2)$.
