а) Перепишем уравнение $(*)$ в виде
$$
xy+yz+zx=0.
$$
Заметим, что если одно из неизвестных равно 0, то и некоторые другие — тоже 0; в дальнейшем мы не будем рассматривать такие тривиальные решения. Пусть $d$ — наибольший общий делитель $x$ и $y$, $x=da$, $y=ab$. Тогда $z=-\dfrac{xy}{x+y}=-\dfrac{dab}{a+b}$, где $a$, $b$ и $a+b$ попарно взаимно просты, так что $d$ делится на $a+b$: $d=k(a+b)$. Отсюда получаем общую формулу для нетривиальных решений:
$$
x=ka(a+b),\quad y=kb(a+b),\quad z=-kab,
$$
где $a$, $b$, $k$ — целые, причём $a$ и $b$ взаимно просты. При $k=1$ получаем всевозможные различные решения из чисел, не имеющих общего делителя, большего 1.
б) Ответ: 16. Вопрос сводится к тому, сколькими способами можно представить 1988 в виде произведения $ab$, где $a$ и $b$ — взаимно простые целые числа. Поскольку $1988=4\cdot7\cdot71$, в роли $a$ можно взять произведение некоторых из четырёх чисел — 1, 4, 7, 71 (тогда $b$ будет произведением остальных; произведением «пустого множества» естественно считать 1).
