Очевидно, что среди трёх дуг с концами в любых трёх точках окружности хотя бы одна не превосходит $120^\circ$. Поэтому, если соединить отрезком каждую пару данных точек, определяющую дугу величиной не больше $120^\circ$, получится граф, в котором среди любых трёх точек хотя бы две соединены. Этой информации уже достаточно, чтобы доказать утверждение задачи, т. е. на языке графа, что число проведённых отрезков не меньше 100.
Пусть $A_1$ — точка, из которой выходит наименьшее число отрезков; обозначим их $A_1A_2$, $A_1A_3$, $\ldots$, $A_1A_k$. Из каждой точки $A_i$, $i=1$, $\ldots$, $k$, выходит не менее $k-1$ отрезков, поэтому число всех таких отрезков не меньше $\dfrac{k(k-1)}2$ (при подсчёте каждый отрезок может быть учтён дважды). Любые две из остальных $21-k$ точек должны быть соединены, иначе между этими двумя точками и $A_1$ вообще не будет отрезков, что противоречит нашему условию. Это даёт ещё не меньше чем $\dfrac{(21-k)(20-k)}2$ отрезков. Итак, общее число отрезков в графе не меньше
$$
\dfrac{k(k-1)}2+\dfrac{(21-k)(20-k)}2=k^2-21k+210\ge100
$$
(при целых $k$); минимум достигается при $k=10$ или $k=11$. Эта оценка неулучшаема, как видно из расположения, показанного на рисунке: 10 точек вблизи одного конца диаметра и 11 — вблизи другого.
В общем случае $n$ точек на окружности число 100 нужно заменить на $\dfrac{n(n-2)}4$ при чётном $n$ и $\dfrac{(n-1)^2}4$ — при нечётном; доказательство сохраняется.
