Задачи, стр. 6 // Архив журнала «Квант»

Задача Ф26
Две горизонтальные полуплоскости, расположенные на высоте $h$‍‍ одна над другой, плавно переходят друг в друга, как показано на рисунке 2. По верхней полуплоскости под углом $\alpha$‍‍ к направлению на спуск движется со скоростью $v$‍‍ небольшой…
Задача Ф27
В полусферический колокол, плотно лежащий на столе, наливают через отверстие вверху воду (рис. 3). Когда вода доходит до отверстия, она приподнимает колокол и начинает вытекать снизу. Найти массу колокола, если радиус его равен $R$‍,‍ а плотность воды…
Задача Ф28
Две параллельные пластины находятся на расстоянии, малом по сравнению с их размерами. Между пластинами помещают несколько тонких и хорошо проводящих тепло перегородок — экранов. Как это влияет на теплопроводность между пластинами, если:
1. длина свободного…
Задача М26
Предположим, что в каждом номере задачника «Кванта» будет пять задач по математике, а журнал выходит ежемесячно. Обозначим через $f(x,y)$‍‍ номер первой из задач $x$‍‍-го номера за $y$‍‍-й год (например, $f(6, 1970)=26$‍).‍ Напишите общую формулу для…
Задача М27
Докажите, что если $$\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0,$$ то $$\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=0. $$
Задача М28
а) Из 19 шаров 2 радиоактивны. Про любую кучку шаров за одну проверку можно узнать, имеется ли в ней хотя бы один радиоактивный шар или нет (но нельзя узнать, сколько таких шаров в кучке). Доказать, что за 8 проверок можно выделить оба радиоактивных шара.

б) Из 11 шаров 2…
Задача М29
$n$‍‍ одинаковых монет лежат на столе, образуя замкнутую цепочку (см. рисунок). Сколько оборотов сделает монета $M$‍‍ такого же размера за то время, пока она один раз обкатится по внешней стороне всей цепочки, как показано на рисунке (монета $M = 2~\text{коп.}$‍)?‍…
Задача Ф29
Найти скорость испарения с единицы поверхности воды в вакуум при температуре $20^\circ\text{ C}$‍.‍ (Давление насыщенных паров при этой температуре равно $17{,}5\text{ мм рт. ст.}$‍)‍ За какое время испарится в комнате вода, налитая доверху в обычное чайное блюдце? Испарение небольшого количества воды…
Задача М30
Докажите, что $N$‍‍ точек на плоскости всегда можно покрыть несколькими непересекающимися кругами, сумма диаметров которых меньше $N$‍‍ и расстояние между любыми двумя из которых больше 1. (Под расстоянием между двумя кругами понимается расстояние между их…
Задача Ф30
В киноаппарате и кинопроекторе проходит 8 кадров в секунду. На экране движется автомобиль с колесами, реальный диаметр которых 1 м. Изображения колес делают 2 оборота в секунду. Какова скорость автомобиля?

Задачник «Кванта»‍553