«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Тетраэдр пересечён тремя плоскостями, каждая из которых параллельна двум его противоположным рёбрам и одинаково удалена от них. Докажите, что сумма квадратов площадей этих трёх сечений в 4 раза меньше суммы квадратов площадей граней тетраэдра.
На доске нарисовано поле для игры в «цифры»: $$ ((((((((( \_\_ * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_) $$ Двое играющих ходят по очереди. Первый игрок начальным ходом записывает на месте первого (самого левого) пробела $( \_\_ )$ какую-нибудь цифру. Каждый дальнейший ход состоит в том, чтобы записать цифру на месте очередного…
Разложите на простые множители число $989 \cdot 1001 \cdot 1007 +320$.
В шестиугольнике $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ нашлась точка $O$, из которой все стороны видны под углом $60^\circ$. Докажите, что если $OA_1\gt OA_3\gt OA_5$ и $OA_2\gt OA_4\gt OA_6$, то $$ A_1A_2+A_3A_4+A_5A_6\lt A_2A_3+A_4A_5+A_6A_1. $$
Дана стопка из $2n+1$ карточек, с которой разрешается производить следующие две операции:
Найдите наибольшее натуральное число, в десятичной записи которого каждая цифра (кроме крайних) строго меньше полусуммы двух соседних с ней цифр.
Если к обмёрзшему стеклу на незначительное время прижать пятак, то вдоль края пятака на стекле протаивает кружок. Почему?
Биссектриса угла $A$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $L$, а описанную окружность треугольника — в точке $N$ (отличной от $A$); $K$ и $M$ —…
Пусть $p_n(k)$ — число перестановок множества из $n$ ($n\ge1$) элементов, имеющих ровно $k$ неподвижных точек. Докажите, что:
Примечание.…
Функция $f$ определена на множестве $\N_0$ всех неотрицательных целых чисел и принимает значения в этом множестве. Докажите, что равенство $f(f(n))=n+1987$ не может выполняться для всех $n$ из $\N_0$.