«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
В трапеции $ABCD$ (с основаниями $BC$ и $AD$) на сторонах $AB$ и $CD$ выбраны точки $K$ и $M$. Докажите, что если $\angle{BAM}=\angle{CDK}$, то $\angle{BMA}=\angle{CKD}$.
На шахматной доске расставлено несколько фишек. За один ход одна из фишек передвигается на соседнее (по горизонтали или вертикали) свободное поле. После нескольких ходов оказалось, что каждая фишка побывала на всех полях ровно по одному разу и вернулась на исходное поле. Докажите, что был…
На плоскости дан выпуклый $n$-угольник, у которого длина $k$-й стороны равна $a_k$, а длина проекции многоугольника на прямую, содержащую эту сторону, равна $d_k$ ($k=1$, 2, $\ldots$, $n$). Докажите…
Пусть $n$ — натуральное число и $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_{2n+1}$ подмножества некоторого множества $B$. Предположим, что
Функция $f$ определена на множестве целых положительных чисел и удовлетворяет следующим условиям: $$\begin{gathered} f(1)=1,\quad f(3)=3,\quad f(2n)=f(n),\\ f(4n+1)=2f(2n+1)-f(n),\quad f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n) \end{gathered}$$ Найдите число всех таких значений $n$, для которых $f(n)=n$ и $1\le n\le 1988$.
Докажите, что множество решений неравенства $$ \textstyle\sum\limits_{k=1}^{70}\dfrac{k}{x-k}\ge \dfrac54 $$ является объединением непересекающхся промежутков, сумма длин которых равна 1988.
Пусть $AD$ — высота в прямоугольном треугольнике $ABC$, $\angle A=90^\circ$. Прямая, проходящая через центры окружностей, вписанных в треугольники $ABD$ и $ACD$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ соответственно в точках…
Пусть $a$ и $b$ — целые положительные числа такие, что $a^2+b^2$ делится на $ab+1$ без остатка. Докажите, что $\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}$ — квадрат целого числа.
Докажите для неотрицательных чисел $A$, $M$, $S$ неравенство $$ 3+(A+M+S)+\left(\dfrac1A+\dfrac1M+\dfrac1S\right)+ \left(\dfrac AM+\dfrac MS+\dfrac SA\right)\ge \dfrac{3(A+1)(M+1)(S+1)}{AMS+1}. $$
Эту задачу автор посвятил 100-летию Американского математического общества (American Mathematical Society — AMS), которое отмечается в этом году.
В выпуклом $n$-угольнике все углы равны и из некоторой точки, расположенной внутри $n$-угольника, все его стороны видны под равными углами. Докажите, что этот $n$-угольник правильный.