Болтянский В. Г.

Загадка «аксиомы параллельных»Болтянский В. Г. Загадка «аксиомы параллельных» // Квант. — 1976. — № 3. — С. 2‍—‍8.‍‍

Необычная ассоциация

В одном городе учредили ассоциацию коллекционеров, объединившую филателистов, нумизматов, собирателей игольных ушков и т. п. Решили, что правление ассоциации должно состоять из нечётного числа персон (это удобно при голосовании). Решили также, что правление разместится в одном здании, причём у каждой персоны (т. е. члена правления) будет свой телефонный аппарат внутренней связи. А чтобы не усложнять устройство внутренней связи, решили коммутатор не устанавливать, а прямо соединить каждую персону телефонными линиями с какими-либо тремя персонами.

— Ну, что же, — сказал один из учредителей ассоциации, — я думаю, такая организация работы правления достаточно удобна.

— Особенно мне нравится, — сказал второй (известный Собиратель математических диковинок), — что работу правления можно описать абстрактной аксиоматической схемой. Судите сами, у нас есть три первоначальных понятия: «персона», «линия», «соединяет», и мы хотим, чтобы выполнялись следующие аксиомы:

1. число персон нечётно;
2. каждая линия соединяет ровно две персоны;
3. каждая персона соединена линиями ровно с тремя другими персонами.

— Ну, а какой смысл в этой аксиоматике? Можно ли из неё вывести какие-либо теоремы, чтобы получилась «теория», отражающая работу нашего правления?

— Отчего же, извольте! Во-первых, аксиома 1 показывает, что хотя бы одна персона существует (ведь нуль — чётное число!). Далее, аксиома 3 убеждает нас, что поскольку есть хотя бы одна персона, то найдутся ещё три другие, так что общее число персон не меньше четырёх. Наконец, ещё раз применяя аксиому 1, находим, что общее число персон не меньше пяти. Такова первая теорема этой «теории».

— Что же, это утверждение, в самом деле, можно считать теоремой, поскольку вы его доказали, т. е. логически вывели из аксиом.

— Или вот ещё пример очень простой теоремы: среди любых пяти персон обязательно найдутся две, которые не соединены линией.

— Ну, это понятно: иначе к каждому из этих пяти было бы подведено не менее четырёх линий.

— Совершенно верно! Кстати, вы сказали: линия «подведена» к персоне. Этому можно дать чёткое определение в рамках нашей аксиоматики. Именно, если $A$‍‍ — некоторая персона и $l$‍‍ — линия, соединяющая её с некоторой другой персоной, то пару $(A,l)$‍‍ будем называть вводом.

— И теперь можно сказать, что каждая персона $A$‍‍ участвует ровно в трёх вводах $(A,l_1)$‍,‍ $(A,l_2)$‍,‍ $(A,l_3)$‍.‍ Это и будет означать, что к $A$‍‍ «подведены» три линии $l_1$‍,‍ $l_2$‍,‍ $l_3$‍‍ (аксиома 3).

— Прекрасно! — заулыбался Собиратель математических диковинок.

— Продолжая ваше рассуждение, можно сформулировать следующую теорему: число всех вводов нечётно. Ведь персон — нечётное число (аксиома 1), и каждая участвует ровно в трёх вводах.

Внезапно лицо Собирателя омрачилось. Голос его стал унылым.

— К сожалению, можно доказать также и то, что число вводов чётно. Ведь каждая линия $l$‍‍ (соединяющая, скажем, персоны $A$‍‍ и $B$‍)‍ участвует в двух вводах: $(A,l)$‍‍ и $(B,l)$‍,‍ так что число всех вводов вдвое больше числа всех линий.

— Да, но это же противоречит предыдущей теореме?

-— В том-то и беда. Выходит, наша аксиоматика противоречива, раз из неё можно вывести две теоремы, противоречащие друг другу. Так что лопнула наша теория: систему связи, описываемую аксиомами 1, 2 и 3, просто невозможно осуществить.

Другая аксиоматика

— Что же нам делать? Пойти на то, чтобы число членов правления было чётным? Но ведь нам так хотелось этого избежать!

— Почему же, есть и другой выход, — ответил Собиратель математических диковинок. — Оставим аксиомы 1 и 2 прежними, а третью аксиому заменим следующей:

1. каждая персона соединена линиями ровно с четырьмя другими персонами.

Правда, придётся проложить большее число линий, но зато аксиоматика станет непротиворечивой, да и теоремы сохранятся. По-прежнему, общее число персон не менее пяти; из любых шести персон найдутся две, которые не соединены линией; общее число вводов будет чётным (и здесь уже нет никакого противоречия). Можно будет доказать и дальнейшие теоремы.

— Позвольте, но почему вы так уверены в отсутствии противоречий? Да, с числом вводов теперь всё в порядке; но, возможно, доказывая всё новые и новые теоремы, мы всё же натолкнёмся когда-нибудь на противоречие. Ведь не будете же вы утверждать, что заранее знаете все теоремы, которые можно доказать в теории, основанной на этой новой аксиоматике! А если так, то кто же может гарантировать отсутствие противоречий?

— О, здесь я вполне уверен! Сейчас я объясню вам причину такой уверенности. Вы ведь, надеюсь, не сомневаетесь в «правильности» арифметики?

— Нисколько не сомневаюсь; но арифметика-то тут причём?

— А вот причём. Я сейчас из «материала» арифметики построю, как говорят математики, модель для рассматриваемой аксиоматики. Кстати, сколько персон (ориентировочно) будет в правлении?

— Думаю, не меньше 30 человек.

— Прекрасно! Условимся считать «персонами» числа 1, 2, $\ldots$‍,‍ 36, 37.

Удобно расположить их на окружности (рис. 1), чтобы за 37 «следующим» было число 1. Теперь «линиями» будем называть пары чисел, причём лишь такие пары, в которых числа стоят либо рядом, либо через одно на этой окружности. Например, «линиями» будут пары $(1;3)$‍,‍ $(4;5)$‍,‍ $(37;2)$‍;‍ а вот пара $(3;6)$‍‍ «линией» не будет — числа стоят слишком далеко друг от друга.

— Кажется, я понял, что вы хотите. В этой, как вы сказали, модели, есть 37 «персон», т. е. нечётное число (аксиома 1). Каждая линия соединяет ровно две персоны (аксиома 2), так как пара состоит из двух чисел. Кроме того, ясно, что в каждой «персоне» проведены ровно четыре линии (аксиома 3); это можно пояснить схемой, показанной на рисунке 2. Значит, в этой модели выполняются все аксиомы 1, 2, 3. Однако почему же это гарантирует непротиворечивость рассматриваемой аксиоматики?

— Так ведь модель-то эта «сделана» из чисел! Если бы из аксиом 1, 2 и 3 можно было вывести две противоречащие друг другу теоремы, то это противоречие обнаружилссь бы и в этой модели. Выходит, что, рассуждая о числах, мы могли бы получить противоречие. Но, кажется, в непогрешимости арифметики вы не сомневаетесь?

— Ну, что же, я понял ваши доводы. И, позвольте, повторю их, так сказать, в общем виде. Вы рассматриваете две теории, $P$‍‍ и $Q$‍.‍ Теория $P$‍‍ (в качестве неё была взята арифметика) не вызывает сомнений, рассматривается, как незыблемая и непогрешимая. Теория же $Q$‍‍ — это новая теория, определяемая списком аксиом. Нам нужно получить гарантии непротиворечивости теории $Q$‍.‍ Для этой цели применяется такой приём: из понятий теории $P$‍,‍ как из «строительного материала», пытаются построить модель теории $Q$‍,‍ т. е. такую схему, в которой все аксиомы теории $Q$‍‍ выполняются; если это удаётся сделать, то тем самым непротиворечивость теории $Q$‍‍ доказана.

Странная геометрия

— Мы несколько отошли от обсуждения вопросов, связанных с ассоциацией коллекционеров. Но поскольку я коллекционирую математические диковинки, я хочу сейчас предложить вам одну из них: довольно необычную модель геометрии.

— С удовольствием «взгляну» на эту диковинку.

— Представьте, что из плоскости удалена (или, как говорят математики, выколота) одна точка $O$‍‍ (она, конечно, есть, но мы как бы не считаем её «точкой»). Все же остальные точки (отличные от $O$‍)‍ по-прежнему будем считать точками.

— В этом весь фокус?

— Минуточку терпения. Каждую окружность, проходящую через эту выколотую точку $O$‍,‍ будем теперь называть «прямой» (сюда же отнесём и «окружности бесконечного радиуса», т. е. прямые, проходящие через $O$‍).‍ На рисунке 3 изображено несколько «прямых».

— Это уже необычно. Берём заведомо искривлённые линии и объявляем их «прямыми». Только зачем это?

— Давайте, для примера, проведём «прямую» через две точки $A$‍‍ и $B$‍.‍ Как это сделать?

— Вы хотите, чтобы «прямая» проходила через точки $A$‍‍ и $B$‍.‍ Кроме того, раз это «прямая», то она должна проходить и через точку $O$‍.‍ Значит, надо провести окружность через три точки $A$‍,‍ $B$‍,‍ $O$‍‍ (рис. 4). Это сможет сделать каждый школьник.

— Но такая «прямая» существует и притом только одна. Вы согласны?

— Да, поскольку три точки однозначно определяют окружность.

— Значит, в этой модели выполняется аксиома: через две разные точки проходит прямая и притом только одна.

— Кажется меня начинает интересовать ваша диковинка.

— А теперь посмотрите на рисунок 5. На нём изображён треугольник $ABC$‍.‍ Чтобы найти сумму углов этого треугольника, можно взять сумму отмеченных углов при точке $O$‍.‍ А углы эти составляют вместе развёрнутый угол. Значит, в этой модели сумма углов треугольника равна $2d$‍.‍

— Потрясающе!

— Заметьте ещё, что в этой модели через точку, лежащую вне данной «прямой», проходит единственная «прямая», не пересекающая данной. Это будет окружность, касающаяся данной «прямой» в точке $O$‍‍ (рис. 6): ведь точка $O$‍‍ считается выколотой, так что две изображённые «прямые» не имеют общих точек.

— Выходит, что в этой модели выполняется и «аксиома параллельных»?

— Совершенно верно. И вообще, в этой модели выполняются все аксиомы (а значит, и теоремы) той геометрии, которая изучается в школе (её называют геометрией Евклида, по имени учёного, который свыше 2000 лет назад дал систематическое её изложение). Правда, я описал модель не до конца. Не было сказано, как измерять длины, какие треугольники следует считать равнобедренными, и т. д. Кроме того, надо добавить ещё точку $\infty$‍‍‍ для полноты этой модели. Но сущность дела ясна: мы построили модель обычной (евклидовой) геометрии.

— Что же получается? Исходная теория $P$‍‍ — это геометрия, и из «материала» этой теории построена модель той же самой теории?

— Совершенно справедливо! Привёл же эту модель я лишь для того, чтобы показать, что не так уж странно считать кривые линии «прямыми» в некоторой модели‍.

Трагедия Лобачевского

— А теперь — ещё один экспонат из коллекции математических диковинок. Речь идёт о геометрии, открытой великим русским математиком Н. И. Лобачевским.

— Насколько я знаю, он построил геометрию, в которой через точку можно провести более одной параллельной к данной прямой (рис. 7).

— Верно. И хотя все рассуждения Лобачевского были логически безупречны, он при жизни так и не добился признания своих идей. Слишком уж необычны были выводы.

— Например?

— Ну, например, параллельные прямые сближаются (рис. 8). Можно даже построить «бесконечный треугольник», стороны которого попарно параллельны (рис. 9). И хотя на рисунке 9 изображены кривые линии, в геометрии Лобачевского существуют прямые, которые именно так расположены. Далее, сумма углов треугольника всегда меньше $2d$‍‍ и т. д., и т. п.

— Но ведь это же всё не так на самом деле!!!

— Вот, вот! То же говорили и.современники Лобачевского. А он понимал, что дело-то здесь в том, противоречива или же нет та геометрия, которая получается из положенных в её основу аксиом; кроме того, разговоры: «в действительности всё не так», — основаны лишь на том, что нашим наблюдениям доступна небольшая часть пространства, где различия между евклидовой геометрией и его геометрией не заметны (лежат за пределами точности измерений). И, кстати, современная физика всё более подтверждает это.

— Удивительно. Но вы, насколько я понял, хотели говорить о чисто математическом подтверждении правильности геометрии Лабачевского?

— Точнее, о её непротиворечивости.

— Ах, понимаю! Видимо, вы хотите сказать, что из «материала» какой-то теории $P$‍,‍ в правильности которой мы не сомневаемся, можно построить модель геометрии Лобачевского?

— Совершенно верно! И этой теорией $P$‍‍ является евклидова геометрия! Оказывается, из «материала» геометрии Евклида можно построить модель геометрии Лобачевского.

— И что же, Лобачевский знал об этом?

— Нет; но он построил другую замечательную модель. Ему удалось из «материала» своей геометрии построить модель евклидовой геометрии.

— Значит, если бы все были уверены в непогрешимости геометрии Лобачевского и сомневались в правильности геометрии Евклида, то этой моделью можно было бы убедить всех, что геометрия Евклида тоже непротиворечива! А ведь желательно, чтобы всё было наоборот.

Запоздалая справедливость

— Вы теперь видите, что Лобачевский хорошо понимал, что такое модель, и как можно было бы доказать непротиворечивость его геометрии. Надо было, приняв евклидову геометрию за исходную теорию $P$‍,‍ построить из её «материала» модель теории $Q$‍‍ — геометрии Лобачевского. Но Лобачевскому не удалось сделать это. Такие модели были найдены лишь после смерти учёного.

— Кто же сделал это?

— Бельтрами, Кэли, Клейн, Пуанкаре и другие учёные‍.

— И что же, эти модели очень сложны?

— Нет. Вот как, например, строится модель, найденная выдающимся французским математиком Анри Пуанкаре‍. В этой модели рассматриваются только точки, лажащие внутри некоторого круга $K$‍.‍ «Прямые» же определяются так: берётся окружность (или прямая), пересекающая под прямым углом окружность круга $K$‍,‍ и часть этой окружности, лежащая внутри $K$‍,‍ объявляется «прямой». На рисунке 10 показано несколько «прямых» в этой модели.

— Эта модель немного напоминает модель геометрии Евклида, о которой мы говорили раньше. Там тоже в качестве «прямых» были взяты окружности.

— И, обратите внимание, в этой модели тоже можно доказать, что через две точки проходит единственная «прямая». Можно в этой модели рассматривать треугольники (рис. 11). А рисунок 12 показывает, что через точку вне «прямой» $a$‍‍ можно провести бесконеҹно много «прямых», не пересекающихся с «прямой» $a$‍.‍ Две из них (те, которые касаются прямой $a$‍‍ на границе круга $K$‍,‍ т. е. как бы в «бесконечно удалённых точках») параллельны прямой $a$‍.‍ Ну, а на рисунке 13 изображён «бесконечный треугольник», стороны которого попарно параллельны. Короче, это есть модель именно геометрии Лобачевского. Конечно, я описал эту модель далеко не полностью: надо указать, как измеряются длины, определить, какие фигуры считаются равными (конгруэнтными) и т. д. Но в общих чертах модель строится именно так.

— А другие учёные, имена которых вы назвали, построили такую же модель?

— О нет! Сейчас известно много разных моделей геометрии Лобачевского. Например, в работах Клейна и Кэли построена модель, в которой тоже рассматриваются только точки, лежащие внутри некоторого круга $K$‍,‍ но «прямыми» у них считаются хорды этого круга (без концов). На этой модели ещё проще увидеть, что через точку вне «прямой» $a$‍‍ проходит бесконечно много «прямых», не пересекающихся с $a$‍‍ (рис. 14). Однако углы, например, в этой модели измеряются сложнее, чем в модели Пуанкаре.

— Да, ваши «математические диковинки» очень интересны. Теперь понятно значение открытия Н. И. Лобачевского, который не только построил совершенно необычную геометрию, но и положил начало для нахождения всё новых и новых «геометрий». Я слышал, что математика сейчас рассматривает много разных пространств и геометрий, причём они применяются в физике и других областях. Наверно, и в вашей коллекции есть немало удивительных пространств, геометрий, математических «миров»?

— Есть, конечно. Но об этом поговорим как-нибудь в другой раз.