Текст статьи Леонович А. А. А так ли хорошо знакомы вам траектории? // Квант. — 2024. — № 7. — С. 32—33.
Поскольку движение небесных тел... происходит легче всех других движений, ему должна быть свойственна и наиболее удобоподвижная форма; для плоских фигур это круговое движение...
Клавдий Птолемей
...движение, в обычном понимании этого слова, есть не что иное, как действие, посредством которого данное тело переходит с одного места на другое.
Рене Декарт
...при сложном движении, слагающемся из равномерного горизонтального и естественно-ускоренного движений, бросаемое тело описывает полупараболу.
Галилео Галилей
...циклоида исследована точнее и основательнее всех других кривых.
Христиан Гюйгенс
...криволинейные движения тел возникают, когда направление движущихся сил не совпадает с направлением брошенного тела. В этом случае тело постоянно отвлекается от прямого пути и принуждено двигаться по кривой.
Леонард Эйлер
...правильно ли думать, что наблюдаемая нами движущаяся точка всегда находится в каком-то определённом месте?..
Ричард Фейнман
Казалось бы, что может быть проще понятия траектории, вводимого при первых же шагах в освоении курса физики? Однако, уже при описании различных механических движений оно «размножается», ломая рамки нехитрого первоначального набора прямых линий и окружностей. Неминуемо приходится обращаться к параболам, спиралям, циклоидам, когда необходимо отобразить форму орбит естественных и искусственных спутников, планет, комет и астероидов. А каковы траектории молекул в жидкостях и газах, заряженных частиц в электрическом и магнитном полях?..
Да, это, на первый взгляд, немудрёное понятие будет долго сопровождать нас при изучении физики.
Вопросы и задачи
- По гладкому горизонтальному столу со скоростью
$v$ движется чёрная доска. Какой формы след оставит на этой доске мел, брошенный горизонтально со скоростью и перпендикулярно направлению движения доски, если:- трение между мелом и доской пренебрежимо мало;
- трение велико?
- Какую линию описывает середина отрезка между двумя пешеходами, равномерно идущими по параллельным дорогам?
- Два автомобиля одновременно начали двигаться с одинаковыми скоростями от перекрёстка двух взаимно перпендикулярных дорог. По какой траектории будет двигаться второй автомобиль относительно первого? А первый относительно второго?
- Могут ли совпадать направления мгновенной скорости и ускорения материальной точки при её движении по криволинейной траектории?
- Колесо радиусом
$R$ катится без проскальзывания по горизонтальной дороге со скоростью$v_0$. По какой траектории движутся точки на ободе колеса? Чему равен радиус кривизны в её вершине? - Две взаимодействующие между собой частицы образуют замкнутую систему, центр масс которой покоится. В некоторой момент времени известны положения обеих частиц и траектория той, масса которой
$m_1$. Как построить траекторию второй частицы, если её масса$m_2=\dfrac12m_1$? - Выстрел из орудия произведён под некоторым углом к горизонту, а начальная скорость снаряда меньше первой космической. По какой траектории будет двигаться снаряд?
- Какой спутник притягивается Солнцем сильнее, чем своей планетой? Как влияет этот факт на форму движения спутника в гелиоцентрической системе координат?
- Могут ли космические аппараты двигаться по прямолинейным траекториям?
- Верно ли утверждение, что силовые линии электростатического поля — это траектории, по которым двигалась бы положительно заряженная частица, если её, внеся в поле, предоставить самой себе?
- Электроны с кинетической энергией
$K_e$, движутся по прямой линии в скрещённых электрическом и магнитном полях. Протоны какой энергии$K_p$, пройдут по такой же траектории?
Микроопыт
Обратите внимание на следы колёс поворачивающего автомобиля. Очевидно, что внешние и внутренние колёса описывают дуги разных окружностей, т. е. они проходят разные пути с различной угловой скоростью. Как такое может быть?
Любопытно, что...
...определяя траекторию горизонтально брошенного тела, Галилей поначалу ошибочно считал её дугой окружности. Однако позже он исправил свой просчёт и нашёл, что эта траектория — параболическая.
...Галилей и Кеплер первыми показали, что свободное от влияния сил движение происходит прямолинейно. А к выводу о том, что движение планет по эллиптическим орбитам однозначно свидетельствует о действии на них силы со стороны Солнца, пришел Кеплер.
...циклоиду открыл, назвал и начал изучать опять же Галилей, размышляя над идеей использовать маятник для регулировки хода часов. Гюйгенсу же удалось доказать, что период колебаний маятника не будет зависеть от амплитуды, когда он описывает циклоиду, и применить это открытие в часах.
...чтобы не испытывать боковых толчков при переходе поезда с прямолинейного участка дороги на дугообразный, необходимо соединить их рельсами, проложенными по кривой переменной кривизны; такие кривые называются клотоидами.
...задача определения линии наименьшей длины, соединяющей две заданные точки какой-либо поверхности (так называемой геодезической линии), нашла применение в исследовании движения тел и частиц в гравитационных и электромагнитных полях, в сплошной среде. Более всего она известна как задача для нахождения кратчайшей траектории полета самолета между двумя аэропортами.
...управление траекториями заряженных частиц с помощью электрического и магнитного полей легло в основу создания электронно-лучевых трубок, используемых как в быту, так и в медицине и научном приборостроении.
...космические лучи, идущие от Солнца, так называемый солнечный ветер, большей частью представляют собой потоки электронов и протонов. На высотах в десятки тысяч километров магнитное поле Земли преграждает им путь, навивая траектории частиц на свои магнитные линии. Воздействие «ветра» на разреженные слои воздуха приводит к их высвечиванию — полярным сиянием.
Что читать в «Кванте» о траекториях
(публикации последних лет)
- «Что такое фазовый портрет» — 2019, №11, с. 29.
- «Кратчайшие пути и гипотеза Пуанкаре» — 2020, №11-12, с. 8.
- «Можно ли отклонить астероид?» — 2022, №9, с. 28.
- «Геометрия фейерверка» — 2023, №1, c. 39.
- «Кинематика случайного блуждания...» — 2024, №1, с. 2.
- «Из Антарктики в Арктику — самолётом» — 2024, №2, с. 30.