Заславский А. А.

‍,

Нилов Ф. К.

Геометрия фейерверкаЗаславский А. А., Нилов Ф. К. Геометрия фейерверка // Квант. — 2023. — № 1. — С. 39⁠—⁠41.‍‍

Наверное, все читатели видели, а возможно, и запускали фейерверки. Оказывается, что за этим красивым зрелищем скрывается много интересных с точки зрения как физики, так и геометрии фактов, о которых мы и хотим рассказать. Мы предполагаем, что читатели знакомы с простейшими свойствами кривых второго порядка, о которых можно прочитать в книжке [1].

Итак, представим себе ракету, взлетающую вертикально вверх и взрывающуюся в высшей точке своей траектории. Чтобы на движение частиц взрыва не оказывало влияние вращение Земли, будем запускать ракету на северном полюсе. Тогда частицы взрыва вылетают из одной точки в разных направлениях с одной скоростью и движутся под действием силы тяжести (сопротивлением воздуха мы пренебрежём). Сначала будем считать, что ракета взрывается на небольшой по сравнению с радиусом Земли высоте. Тогда Землю можно считать плоской, а ускорение $g$‍‍ силы тяжести постоянным во всех точках пространства. Как известно, в этом случае траекторией каждой частицы будет парабола.

Утверждение 1. Фокусы всех парабол лежат на одной сфере с центром в точке $O$‍‍ запуска фейерверка, а директрисы — в одной горизонтальной плоскости.

Доказательство. Пусть $v$‍‍ — начальная скорость частицы, $\varphi$‍‍ — угол между направлением скорости и вертикалью, $F$‍‍ — фокус параболы, $P$‍‍ — его проекция на горизонтальную плоскость, проходящую через $O$‍.‍ Так как вертикальная составляющая скорости убывает до нуля за время $\dfrac{v\cos\varphi}{g}$‍,‍ а горизонтальная постоянна и равна $v\sin\varphi$‍,‍ то $OP=\dfrac{v^2\sin2\varphi}{2g}$‍.‍ Но из оптического свойства параболы следует, что $\angle OFP=2\varphi$‍,‍ т. е. длина отрезка $OF$‍‍ не зависит от $\varphi$‍‍ (рис. 1). Значит, расстояние $h$‍‍ от $O$‍‍ до директрисы параболы тоже не зависит от $\varphi$‍,‍ т. е. все директрисы лежат в одной горизонтальной плоскости (расстояние от $O$‍‍ до этой плоскости равно высоте $h$‍,‍ на которую поднимается частица, запущенная вертикально).

Исследуем теперь границу области безопасности, т. е. поверхность, ограничивающую точки пространства, в которые могут попасть частицы. Очевидно, что эта поверхность получается вращением некоторой кривой относительно вертикальной прямой, проходящей через точку взрыва. Рекомендуем читателям прежде, чем читать дальше, попробовать нарисовать эту кривую с помощью какой-нибудь программы компьютерной графики.

Утверждение 2. Траектории всех частиц касаются параболоида вращения с фокусом $O$‍‍ и вершиной, лежащей на расстоянии $h$‍‍ от $O$‍.‍

Доказательство. Рассмотрим все частицы, траектории которых лежат в одной вертикальной плоскости. Пусть $F$‍‍ — фокус одной из таких траекторий, $X$‍‍ — точка пересечения траектории с лучом $OF$‍,‍ $l$‍‍ — горизонтальная прямая, расстояние от которой до $O$‍‍ равно $2h$‍.‍ Тогда расстояние от $X$‍‍ до $l$‍‍ равно $XF+h=XO$‍,‍ т. е. $X$‍‍ лежит на параболе с фокусом $O$‍‍ и директрисой $l$‍‍ (рис. 2). Из оптического свойства параболы получаем, что касательные в точке $X$‍‍ к этой параболе и траектории частицы совпадают (поскольку совпадают направления на фокусы и направления осей парабол), т. е. все траектории, лежащие в одной вертикальной плоскости, касаются одной и той же параболы (рис. 3). Вращая её вокруг оси, получим искомый параболоид.

Очевидно, что частицы могут попасть только в точки, лежащие ниже параболоида. Этот результат был получен Э. Торричелли‍ в 1644 году.

Утверждение 3. В любой момент времени фронт (геометрическое место частиц) является сферой.

Доказательство. Поскольку все частицы движутся с одинаковым ускорением, их центр масс движется с тем же ускорением и частицы удаляются от него со скоростью $v$‍.‍ Следовательно, фронт — сфера с радиусом $vt$‍,‍ расстояние от её центра до $O$‍‍ равно $\dfrac{gt^2}2$‍.‍

Пусть теперь ракета взрывается на большой высоте. Тогда частицы движутся под действием центральной силы, т. е. на частицу в точке $X$‍‍ действует сила, направленная к центру Земли $G$‍‍ и равная $\dfrac1{GX^2}$‍‍ (точнее говоря, сила притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния, но, выбирая единицы измерения длины и времени, можно сделать коэффициент пропорциональности равным единице). Тогда движение частицы описывается следующими тремя законами‍:

1. Частицы движутся по коникам с фокусом $G$‍.‍
2. Радиус-вектор частицы, направленный из $G$‍,‍ за равные промежутки времени заметает равные площади.
3. Если начальная скорость невелика (мы рассматриваем именно такой случай), траектории частиц являются эллипсами, а квадраты периодов обращения пропорциональны кубам больших осей.

Пользуясь этими законами, докажем несколько свойств траекторий.

Утверждение 4. Большие оси всех эллипсов, а значит, и периоды обращения всех частиц равны.

Доказательство. Пусть $r$‍‍ — расстояние от частицы до $G$‍,‍ а $v$‍‍ — её скорость. Тогда кинетическая энергия частицы равна $\dfrac {v^2}2$‍‍ (можно считать, что масса частицы равна 1), а потенциальная равна $-\dfrac1r$‍.‍ Сумма этих величин $E$‍‍ постоянна и одинакова для всех частиц (условие $E=0$‍‍ определяет вторую космическую скорость, при которой частица начинает двигаться по параболе. Мы считаем, что скорость частицы меньше второй космической, т.е. $E\lt0$‍).‍ С другой стороны, по второму закону Кеплера величина $vr\sin\alpha$‍,‍ где $\alpha$‍‍ — угол между радиус-вектором частицы и направлением её скорости, постоянна, следовательно, в концах большой оси эллипса $vr=v_0r_0\sin\alpha_0$‍.‍ Исключая из этих уравнений $v$‍,‍ получаем квадратное уравнение на $r$‍:‍ $$ v_0^2 r_0^2 \sin^2\alpha_0-2r-2Er^2=0. $$ Поскольку от $\alpha_0$‍‍ зависит только свободный член уравнения, сумма его корней, равная большой оси эллипса, одна и та же для всех частиц (она пропорциональна $-\dfrac1E$‍,‍ соответственно, период пропорционален $(-E)^{\frac{\scriptstyle3}{\scriptstyle2}}$‍).‍

Утверждение 5. Вторые фокусы всех эллипсов лежат на сфере с центром $O$‍.‍

Доказательство. Если $F$‍‍ — второй фокус некоторого эллипса, то сумма $OF+OG$‍‍ равна большой оси этого эллипса, т. е. одна и та же для всех частиц, следовательно, длина отрезка $OF$‍‍ тоже одинакова.

Утверждение 6. Траектории всех частиц касаются эллипсоида вращения с фокусами $G$‍‍ и $O$‍‍ (рис. 4).

Доказательство полностью аналогично доказательству утверждения 2, и мы предлагаем читателям провести его самостоятельно или прочитать, например, в статье [3]. Также предлагаем самостоятельно разобраться со случаем, когда начальная скорость частиц больше второй космической.

Авторы благодарны членам редколлегии «Кванта» за замечания, позволившие улучшить первоначальную версию статьи.

Литература

1. Заславский А. А., Акопян А. В. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн. — М.: МЦНМО, 2011.
2. Goodstein D. L., Goodstein I. R. Feynman's Lost Lecture: The Motion of Planets Around the Sun. — Norton, 1996.
3. Бутиков Е. И. Огибающая семейства эллиптических орбит и баллистических траекторий // Компьютерные инструменты в образовании. 2016. №3. С. 50⁠—⁠65,

Н. Андреев:
Новогоднее видео от Wild Mathing: ВК‍, YouTube‍.