«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Текст задачи готовится
Имеется кучка из $M$ спичек и лист бумаги, на котором написано число $M$. Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок берёт из кучки или возвращает в кучку от 1 до $k$ спичек и записывает на листе, сколько спичек стало в…
На шахматной доске расставлено 8 фигур так, что в каждом горизонтальном и в каждом вертикальном ряду клеток стоит по одной фигуре. Докажите, что на чёрных клетках шахматной доски стоит чётное число фигур.
В некоторой роще было $n\ge3$ скворечников, причём все расстояния между скворечниками различны. В каждом из них жило по скворцу. В какой-то момент некоторые из них покинули свои скворечники и перелетели в другие, так что снова в каждом скворечнике оказалось по скворцу. При этом, если…
Каждый из семи мальчиков в воскресенье 3 раза подходил к киоску мороженого. Известно, что каждые два из них встречались около киоска. Докажите, что в некоторый момент там встречались одновременно трое мальчиков.
На всех шести рёбрах произвольного тетраэдра выбрано по точке. Через каждую тройку точек, лежащих на рёбрах, выходящих из одной вершины, проведём плоскость. Докажите, что если три из них касаются вписанного в тетраэдр шара, то и четвёртая плоскость тоже касается вписанного шара.
Найдите положительные числа $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$, удовлетворяющие системе $n$ уравнений $$ (x_1+x_2+\ldots+x_k)(x_k+x_{k+1}+\ldots+x_n)=1\quad (k=1{,}~2{,}~{\ldots}{,}~n), $$ если
