«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что наименьшее общее кратное $n$ натуральных чисел $a_1 \lt a_2 \lt \ldots \lt a_n$ не меньше $na_1$.
Постройте треугольник $ABC$, если заданы его наименьший угол $\widehat A$ и отрезки длины $d=|AB|-|BC|$ и $e=|AC|-|BC|$.
Последовательность $(x_i)$ определяется условиями $$x_1=1,\quad x_2=0,\quad x_3=2,\quad x_{n+1}=x_{n-2}+2x_{n-1}.$$ Докажите, что для любого натурального $m$ найдутся два соседних члена этой последовательности, каждый из которых делится на $m$.
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Докажите, что
Дано несколько точек, некоторые пары которых соединены линиями (точки таких пар называются соседями). Число соседей у каждой точки нечётно. В начальный момент все точки раскрашены в два цвета — красный и синий. Затем каждую минуту происходит…
Можно ли числа 1, 2, $\ldots$, 30 разбить на группы
так, чтобы суммы чисел во всех группах были одинаковыми?
Внутри треугольника расположены окружности $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ одинакового радиуса так, что каждая из окружностей $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ касается двух сторон треугольника и окружности $\delta$…
Докажите, что если для вписанного четырёхугольника $ABCD$ выполнено равенство $|CD|=|AD|+|BC|$, то биссектрисы его углов $A$ и $B$ пересекаются на стороне $CD$.
Пусть $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ — действительные числа такие, что $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=1$. Докажите, что сумма модулей $2^n$ чисел $$ \pm x_1 \pm x_2 \pm \ldots \pm x_n $$ (со всевозможными комбинациями знаков «$+$» и «$-$») не…
Вокруг окружности описан $n$—угольник. Произвольная точка $P$ внутри окружности соединена со всеми его вершинами и точками касания. Образовавшиеся $2n$ треугольников окрашены попеременно в красный и синий цвет. Докажите, что произведение площадей…
