Пусть $m$ — любое натуральное число. Вместо последовательности $(x_i)$ рассмотрим последовательность $(\overline{x_i})$ остатков от деления $x_i$ на $m$.
Из определения последовательности $(x_i)$ следует, что по любым трём числам $\overline{x_i}$, $\overline{x_{i+1}}$ и $\overline{x_{i+2}}$ можно однозначно определить нe только $\overline{x_{i+3}}$, но и $\overline{x_{i-1}}$, поскольку $\overline{x_{i-1}}=\overline{x_{i+2}-2x_i}$. Мы можем поэтому продолжить последовательность $(\overline{x_i})$ влево, т. е. определить $\overline{x_0}$, $\overline{x_{-1}}$, $\overline{x_{-2}}$, $\ldots$
Заметим теперь, что бесконечная в обе стороны последовательность $(\overline{x_i})$ периодична.
В самом деле, поскольку число членов последовательности бесконечно, а количество троек из набора чисел $\{0,1,2,\ldots,m-1\}$ не больше $m^3$, найдутся две совпадающие тройки $\overline{x_i}$, $\overline{x_{i+1}}$, $\overline{x_{i+2}}$ и $\overline{x_{i+T}}$, $\overline{x_{i+T+1}}$, $\overline{x_{i+T+2}}$. Но так как числа первой тройки однозначно определяются по числам второй тройки, то вообще при любом $k$ будут верны равенства $\overline{x_{k+T}}=\overline{x_k}$, $\overline{x_{k+T+1}}=\overline{x_{k+1}}$, $\overline{x_{k+T+2}}=\overline{x_{k+2}}$ ($T$ — период последовательности).
Поскольку $\overline{x_0}=\overline{x_3-2x_1}=0$, $\overline{x_{-1}}=\overline{x_2-2x_0}=0$, $\overline{x_{lT-1}}=0$ и $\overline{x_{lT}}=0$ при любом $l$. Мы доказали тем самым, что существует бесконечно много пар соседних членов последовательности $(x_i)$, каждый из которых делится на $m$.
Интересно отметить связь последовательности $(x_j)$ с последовательностью Фибоначчи $(f_i)$: $f_1=1$, $f_2=2$, $\ldots$, $f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$ при $n\ge1$. Последовательность Фибоначчи также может быть продолжена влево: $f_{n-1}=f_{n+1}-f_n$, так что $f_0=1$, $f_{-1}=0$ и т. д. Нетрудно проверить, что $x_i=f_{i-2}+(-1)^{i-1}$. Таким образом, для любого натурального $m$ в последовательности $(f_i+(-1)^{i-1})$ существует бесконечно много пар соседних членов, делящихся на $m$. В то же время любые два соседних числа Фибоначчи взаимно просты.
